陕西省西安中学2020届高三第四次模拟考试数学（理）试题


西安中学高2020届第四次模拟考试
数学（理）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，为自然数集，则中元素的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
2．复数满足，则复数的共轭复数是(　　)
A． B． C． D．
3．已知，，其中是互相垂直的单位向量，则(　　)
A． B． C．28 D．24
4．在等差数列中，首项，公差，是其前项和，若，则(　　)
A． B． C． D．
5．已知，则 (　　)
A． B． C． D．
6．已知函数,则=(　　)[来源:学#科#网]
A． B． C． D．
7．在正方体中，棱，的中点分别为，，则直线与平面所成角的余弦值为(　　) 
A． B． C． D．
8．为得到函数的图像，可将函数的图像(　　)
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
9．图1是某高三学生14次模考数学成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．将14次成绩输入图2的程序框图，则输出的结果是(　　)








A．8 B．9 C．10 D．11
10．已知抛物线与双曲线的渐近线交于A，B两点（异于原点O），若双曲线的离心率为，的面积为32，则抛物线的焦点坐标为(　　)[来源:Z.xx.k.Com]
A． B． C． D．
11．为缓解城市道路交通压力，促进城市道路交通有序运转，减少机动车尾气排放对空气质量的影响，西安市人民政府决定：自2019年3月18日至2020年3月13日在相关区域实施工作日机动车尾号限行交通管理措施．已知每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行.某公司有A，B，C，D，E五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两辆车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是(　　)
A．今天是周四 B．今天是周六 C．A车周三限行 D．C车周五限行
12．已知函数，若存在互不相等的实数，，，，满足
，则 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．的展开式中项的系数是__________．（用数字作答）
14．若满足约束条件则的最小值为__________．
15．已知三棱锥内接于球，，，则球的表面积为__________．
16．已知函数为奇函数，，若函数与图像的交点为，，⋯，，则__________．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足＝．[来源:学_科_网]
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a＝，b＝3，求△ABC的面积．
18．（本小题满分12分）
“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%．现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄(单位：岁)分组：第1组[15，25)，第2组[25，35)，第3组[35，45)，第4组[45，55)，第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图3所示．

图3
（Ⅰ）求这200人的平均年龄(每一组用该组区间的中点值作为代表)和年龄的中位数(保留一位小数)；
（Ⅱ）现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中恰有2人的年龄在第2组中的概率；
（Ⅲ）若从所有参与调查的人(人数很多)中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．

19．（本小题满分12分）
已知四棱锥P－ABCD（图4）的三视图如图5所示．







图4 图5
（Ⅰ）若点E为棱PC上的动点，求证：BD⊥AE；
（Ⅱ）若点E为PC的中点，求钝二面角D－AE－B的大小．
20．（本小题满分12分）
已知点M，N分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点和上顶点，F为其右焦点，，椭圆的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求△OAB面积的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝xex＋．
（Ⅰ）求证：函数f(x)有唯一零点；
（Ⅱ）若对任意x∈(0，＋∞)，xex－lnx≥1＋kx恒成立，求实数k的取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按
所做的第一题计分.
22．（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）写出C的普通方程；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)－=0，M为l3与C的交点，求M的极径．

23．（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]
已知x，y∈R，且x＋y＝1.
（Ⅰ）求证：x2＋3y2≥；
（Ⅱ）当xy>0时，不等式＋≥|a－2|＋|a＋1|恒成立，求a的取值范围．

西安中学高2020届第四次模拟考试
数学（理）答案
一、选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
A
C
A
B
D
C[来源:Zxxk.Com]
D
B
A
A

二、填空题：
13．21 14．3 15． 16．
三、解答题:
17. 解：（Ⅰ）由＝ 及正弦定理可知，
·＝，··································································（4分）
所以2cos A＝1，又A∈(0，π)，
所以A＝．·······················································································（6分）
（Ⅱ）由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得13＝9＋c2－3c，··············································································（8分）
所以c2－3c－4＝0，即(c－4)(c＋1)＝0，
所以c＝4．·······················································································（10分）
从而．······································（12分）
18．解：（Ⅰ）由10×(0.010＋0.015＋a＋0.030＋0.010)＝1，得a＝0.035，
平均年龄为20×0.1＋30×0.15＋40×0.35＋50×0.3＋60×0.1＝41.5(岁)． ············（2分）
设中位数为x岁，则10×0.010＋10×0.015＋(x－35)×0.035＝0.5，解得x≈42.1，
故这200人年龄的中位数为42.1岁．······················································（4分）
（Ⅱ）易知从第1，2组中抽取的人数分别为2，3，
设“抽取的3人中恰有2人的年龄在第2组中”为事件A，
则P(A)＝···············································································（7分）
（Ⅲ）从所有参与调查的人员中任意选出1人，则其关注生态文明建设的概率为．
由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝C＝ P(X＝1)＝C＝
P(X＝2)＝C＝ P(X＝3)＝C＝
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




因为X～B，所以E(X)＝3×＝．··············································（12分）
19．证明：（Ⅰ）由三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2. ·····························································（2分）
连接AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC.
∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC.
又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC. ··························································（4分）
∵AE⊂平面PAC，
∴BD⊥AE. ··························································································（5分）





（Ⅱ）方法1．　在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连接BF.
∵AD＝AB＝1，DE＝BE＝＝，AE＝，
∴Rt△ADE≌Rt△ABE，从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE.
∴∠DFB为二面角D－AE－B的平面角. ····················································（7分）
在Rt△ADE中，DF＝＝＝，
∴BF＝.··························································································（9分）
又BD＝，在△DFB中，
由余弦定理得cos∠DFB＝＝－，······································（11分）
∴∠DFB＝，即二面角D－AE－B的大小为．······································（12分）
方法2．　如图，以点C为原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D(1，0，0)，A(1，1，0)，B(0，1，0)，E(0，0，1)，
从而＝(0，1，0)，＝(－1，0，1)，＝(1，0，0)，＝(0，－1，1).







设平面ADE和平面ABE的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，
由⇒取n1＝(1，0，1)；····································（7分）
由⇒取n2＝(0，－1，－1). ················· ··············（9分）
设二面角D－AE－B的平面角为θ，则
cos θ＝＝＝－， ······························································（11分）
∴θ＝，即二面角D－AE－B的大小为．·············································（12分）
20. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题可知，，
，，则．
又e＝＝，
解得a＝2，，c＝1，
所以椭圆C的方程为＋＝1. ···························································（4分）
（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0.
故可设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线和椭圆，消去y可得，(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
由题意可知，Δ＝64(km)2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝48(4k2－m2＋3)>0，
即4k2＋3>m2，
且x1＋x2＝－，x1x2＝，···················································（6分）
又直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，所以·＝k2，
将y1，y2代入并整理得m2(4k2－3)＝0，
因为m≠0，k＝±，0 设d为点O到直线l的距离，则有d＝，···········································（8分）
|AB|＝|x1－x2|＝，····················································（10分）
所以S△OAB＝|AB|d＝<，
所以△OAB面积的取值范围为(0，)．································ ···············（12分）
21．解：（Ⅰ）证明：f′(x)＝(x＋1)ex＋，
易知f′(x)在(0，e)上为正数，
因此f(x)在区间(0，1)上为增函数，·······················································（2分）
又f＝<0，f(1)＝e>0，
因此ff(1)<0，即f(x)在区间(0，1)上恰有一个零点，
由题可知f(x)>0在(1，＋∞)上恒成立，即在(1，＋∞)上无零点，
所以f(x)在(0，＋∞)上有唯一零点．··············································· ·······（5分）
（Ⅱ）设f(x)的零点为x0，即x0e＋＝0.
原不等式可化为≥k，
令g(x)＝，则g′(x)＝，
由（Ⅰ）可知g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
故g(x0)为g(x)的最小值，····································································（7分）
下面分析x0e＋＝0.
设x0e＝t，则＝－t，
可得，即x0(1－t)＝ln t，··················································（9分）
若t>1，等式左负右正不相等，
若t<1，等式左正右负不相等，
只能t＝1．
因此g(x0)＝1，所以k≤1．·································（12分）
22．解：（Ⅰ）消去参数t，得直线的普通方程为，
消去参数m，得的普通方程为.·························· ····················（2分）[来源:学科网]
设，由题设可得，消去k得 ，
即C的普通方程为．······················································（5分）
（Ⅱ）方法1．C的极坐标方程为，···（6分）
联立，得，
故，从而，．·········································（8分）
代入，得，所以交点M的极径为．············ ··（10分）
方法2．化为普通方程为 ························································（6分）
联立 得 ···························································（8分）
∴
∴与C的交点M的极径为. ································································（10分）
22．解：（Ⅰ）证明：由柯西不等式得[x2＋(y)2][12＋()2]≥(1·x＋y·)2. ····（3分）
所以(x2＋3y2)×≥(x＋y)2，当且仅当x＝3y时取等号．
所以x2＋3y2≥． ············································································（5分）
（Ⅱ）因为x，y∈R，且x＋y＝1，xy>0，
所以＋＝(x＋y)(＋)＝2＋＋≥4，
所以|a－2|＋|a＋1|≤4， ····································································（7分）
当a≥2时，2a－1≤4，可得2≤a≤；
当－1 当a≤－1时，－2a＋1≤4，可得－≤a≤－1，
所以a的取值范围为． ························································（10分）