陕西省西安中学2020届高三下学期第六次模拟数学（文）试题
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数学（文）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先由集合，然后结合集合，判断即可得解.
详解】解：由，
又，
所以，
故选：B.
【点睛】本题考查了集合的包含关系，属基础题.
2.复数的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先由复数的运算可得，然后求其共轭复数即可.
【详解】解：因为，
则，
故选：D.
【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了共轭复数的概念，属基础题.
3.刘徽的割圆术是建立在圆面积论的基础之上的．他首先论证，将圆分割成多边形，分割越来越细，多边形的边数越多，多边形的面积和圆的面积的差别就越来越小了．如图，阴影部分是圆内接正12边形，现从圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出阴影部分及圆的面积，然后结合几何概型中面积型的概率公式求解即可.
【详解】解：设圆的半径为1，
由题意可得阴影部分的面积为，
又圆的面积为，
则由几何概型中面积型的概率公式可得此点取自阴影部分的概率是,
故选：A.
【点睛】本题考查了几何概型中面积型的概率公式，重点考查了正多边形面积的求法，属基础题.
4.设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得，得解.
【详解】解：由，
则，
即，
故选：A.
【点睛】本题考查了对数值，指数幂的大小的比较，属基础题.
5.一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设圆和x轴相交于M点，根据圆的定义得到CA＝CM＝R，因为x=-2,是抛物线的准线，结合抛物线的定义得到M点为焦点.
【详解】圆心C在抛物线上，设与直线相切的切点为A，与x轴交点为M，由抛物线的定义可知，CA＝CM＝R，直线为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点．
故选B
【点睛】这个题目考查了抛物线的定义的应用以及圆的定义的应用，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．
6.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数图像的对称性及特殊点逐一判断即可得解.
【详解】解：由函数图像关于轴对称可得，函数为偶函数，
又选项C对应的函数为奇函数，则排除选项C，
又，显然选项B不满足题意，即排除选项B，
又，显然选项A不满足题意，即排除选项A，
即的解析式可能为D，
故选：D.
【点睛】本题考查了函数的图像，重点考查了函数的奇偶性，属基础题.
7.设n%m表示自然数n被正整数m除所得余数，[x]表示不超过x的最大整数，如20%7=6，[3.14]=3.在图示框图中，若输入2049 ，则输出值为（ ）
A. 15 B. 20 C. 45 D. 38
【答案】A
【解析】
【分析】
先理解程序框图的功能，然后依次循环运算即可得解.
【详解】解：由题意有第一次循环：，
第二次循环：，
第三次循环：，
第四次循环：，
则此时，输出当前的，
即输出值为，
故选：A.
【点睛】本题考查了程序框图，重点考查了阅读能力，属基础题.
8.已知数列为各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则=（ ）
A. 32 B. 31 C. 30 D. 29
【答案】B
【解析】
分析】
根据已知求出，再求出公比和首项，最后求.
【详解】因为，
所以.
因为，
所以.
所以，
所以.
故选B
【点睛】本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等比中项的应用，考查等比数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM成60°的角；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD.其中正确的是( )
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①③
【答案】D
【解析】
【详解】将展开图还原为正方体，由于EF∥ND，而ND⊥AB，∴EF⊥AB；显然AB与CM平行；EF与MN
是异面直线，MN与CD也是异面直线，故①③正确，②④错误.
10.的面积为，角的对边分别为，若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先由余弦定理及三角形面积公式可得，然后利用二倍角的正切公式求解即可.
【详解】解：因为，
由余弦定理及三角形面积公式可得：，
即，即，
即,
即，
所以,
故选：B.
【点睛】本题考查了余弦定理及三角形面积公式，重点考查了二倍角的正切公式，属基础题.
11.设双曲线()的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于点，连结，若，，则双曲线的离心率为( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本道题设,利用双曲线性质,计算x，结合余弦定理，计算离心率，即可．
【详解】结合题意可知,设
则结合双曲线的性质可得,
代入,解得,所以,
对三角形运用余弦定理,得到
,解得
故选B.
【点睛】本道题考查了双曲线的性质，考查了余弦定理，关键利用余弦定理，解三角形，进而计算x，即可，难度偏难．
12.已知，.定义集合，则的元素个数满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先理解题意，然后分①当,时,②当,时, ③当,时,三种情况讨论即可.
【详解】解:由，,
①当,时, ,
,
此时的元素个数为个,
②当,时, ,
,
这种情况和第①种情况除外均相同,故新增个,
③当,时, ,
,这种情况与前面重复,新增0个,
综合①②③可得:
的元素个数为个,
故选:A.
【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断，重点考查了计数原理的应用，属中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.点是正方形的边的中点，若，则__________．
【答案】3
【解析】
以为坐标原点，为轴，为轴，设正方形的边长为，则：，，，可得：，，若，可得，解得，，，则，故答案为3.
14.设是等差数列的前项和，若，，则__________．
【答案】8
【解析】
因为，，所以 ，因此
15.已知，满足不等式组，若不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由题意可得点的坐标为．
又直线过定点，故得.
由图形得，若不等式恒成立，
则，解得．
故实数的取值范围是．
答案：
点睛：线性规划中的参数问题及其求解思路
（1）线性规划中的参数问题，就是已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题．
（2）求解策略：解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值（或范围）．
16.若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为_______.
【答案】和
【解析】
【分析】
先由两平行直线的距离公式得直线与的距离为，再结合直线被两平行线所截得的线段的长为，求得该直线与直线所成角，然后结合直线的倾斜角为求解即可.
【详解】解：由两平行直线的距离公式可得：
直线与的距离为，
又直线被两平行线与所截得的线段的长为，
即该直线与直线所成角，
又直线的倾斜角为，
则该直线的倾斜角大小为和，
故答案为：和.
【点睛】本题考查了两平行直线的距离公式及直线的倾斜角，重点考查了运算能力，属基础题.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17.已知函数.
（1）在所给的坐标纸上作出函数的图像（不要求写出作图过程）；
（2）令， 求函数的定义域及不等式的解集.
【答案】（1）见解析；（2）定义域为，不等式解集为.
【解析】
【分析】
（1）由函数的解析式作出其图像即可；
（2）先解，求出函数的定义域，然后解不等式，求其解集即可.
【详解】解：（1）由题意可得：，
则函数的图像为：
（2），
由，解得，
则函数的定义域为
解不等式，
即，
即，
解得：
不等式的解集为.
【点睛】本题考查了三角函数图像的作法，重点考查了三角函数的定义域及三角不等式的解法，属基础题.
18.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如下表：
数据表明y与x之间有较强的线性关系．
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；
（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人．能否在犯错误概率不超过0．01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？
参考数据:回归直线的系数．
，．
【答案】（1）（2）82（3）可以认为
【解析】
（1）由题意可知，
故 ．
，
故回归方程为．
（2）将代入上述方程，得．
（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36．
抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人，
故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人．
于是可以得到列联表为：
于是，
因此在犯错误概率不超过0．01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关．
点睛：本题主要考查线性回归方程，属于难题．求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势．
19.如图，六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿进行翻折，得到的图形如图所示，且.
（1）求证：；
（2）求证:点不在同一平面内；
（3）求翻折后所得多面体的体积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）先证明，，然后证明面即可；
（2）用反证法，结合线面平行的判定定理和性质定理，即可证明；
（3）由，然后求解即可.
【详解】证明：（1）在等腰梯形ADEF中，作于M，
则，
．
连接AC，则，
；
平面ADEF.
（2）假设在同一平面内，
则平面，
平面，平面，
平面，，，
，这与已知条件四边形是梯形矛盾，
所以假设不成立，即点不在同一平面内；
（3）由1知，平面ADEF，而平面ABCD，
平面平面ADEF．
平面ABCD，
．
【点睛】本题考查了线面垂直的判定、直线与平面平行的判定与性质的应用，重点考查了空间几何体体积的运算，属中档题.
20.已知抛物线经过椭圆的两个焦点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设点，又为 与不在轴上的两个交点，若的重心在抛物线 上，求椭圆的方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意可得即，再结合及椭圆的离心率求解即可.
（2）联立抛物线与椭圆的方程，求出的坐标，然后利用重心坐标公式求解即可.
【详解】解：（1）因为抛物线经过椭圆的两个焦点，
又抛物线经过椭圆的两个焦点，
则，
即，
由，
则椭圆的离心率.
（2）由（1）可知，
则椭圆的方程为，
联立抛物线的方程，
消得，
解得：或（舍去），
所以，
即，
所以的重心坐标为.
又因为的重心在上，
所以，
得.
所以，
即椭圆的方程为.
【点睛】本题考查了椭圆离心率的求法，重点考查了运算能力，属中档题.
21.设函数
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）当时，若存在极值点，求证:
【答案】（1）；（2）增区间，无减区间；（3）证明见解析
【解析】
分析】
（1）由导数的几何意义，先求出切线斜率，再求切线方程即可；
（2）先求出函数的导函数，再解不等式求解即可；
（3）由导数的应用，求出函数的极值点，再代入运算即可得解.
【详解】解：（1）当时，.
则切线斜率，
即切线方程为，即.
（2）当时，.
令，则，
则当时，，当时，，
即在区间上递减，在上递增.
从而，
所以在上恒成立，.
所以，函数的单调缔造者区间为.
（3）由题意有，
由题设得函数有正零点，设为，即.
可得：在区间上递减，在上递增，
所以，
于是，即.
于是.
【点睛】本题考查了导数的几何意义，重点考查了利用导数求函数的单调性及证明不等式，属中档题.
22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，圆的方程为．
（1）求出直角坐标系中方程和圆心的极坐标；
（2）若射线分别与圆与和直线交点（异于原点），求长度．
【答案】（1），圆心的极坐标为；（2）
【解析】
【分析】
（1）由极坐标与直角坐标的互化即可得解；
（2）由极坐标中的几何意义可得，代入求解即可.
【详解】解：（1）由直线的极坐标方程为，
则，
即直线的直角坐标系方程为，
又圆的方程为，
，
即直角坐标系方程为，
则该圆圆心坐标为（0，2），
即圆心的极坐标为.
（2）由题意有.
【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化，重点考查了极坐标的应用，属基础题.
23.已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）设实数，求证：.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由绝对值不等式的解法，分类讨论当时，当时，当时， 的解集即可；
（2）由不等式的性质可得，然后再运算即可得解.
【详解】解：（1）当时，不等式等价于，即，
当时，不等式等价于，即，
当时，不等式等价于，即，
综上可得不等式解集.
（2）由实数，
则，
即，
于是， 即，
所以，.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，重点考查了不等式的性质，属基础题.
