陕西省咸阳市2020届高三高考模拟检测检测（二）数学（理）试题
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数学（理科）试题
注意事项：
1．本试卷共4页满分150分，时间120分钟；
2．答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；
3．第Ⅰ卷选择题必须使用2B铅笔填涂,第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；
4．考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）．
A．2 B． C． D．
3．已知向量，，则向量在向量方向上的投影等于（ ）．
A． B．9 C． D．
4．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15， ，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球， ）若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆第10层球的个数为（ ）．
A．66 B．55 C．45 D．38
5．已知一组数据的茎叶图如图所示下列说法错误的是（ ）．
A．该组数据的极差为12 B．该组数据的中位数为21
C．该组数据的平均数为21 D．该组数据的方差为11
6．已知，则下列不等式不成立的是（ ）．
A． B． C． D．
7．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（ ）．
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．的展开式中项的系数为（ ）．
A．24 B．18 C．12 D．4
9．若，且，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
10．抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
11．将函数的图像向右平移个单位长度后得函数图像，若为偶函数，则（ ）．
A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增
12．已知函数，则函数的零点个数为（ ）．
A．6 B．7 C．9 D．10
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知实数，满足不等式组，则的最大值为________．
14．已知定义在上的函数满足，且，则________．
15．在中内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为________．
16．已知各棱长都相等的直三棱柱所有顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则该三棱柱的体积为________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
已知等差数列满足，，其前项和为．
（Ⅰ）求数列的通项公式及；
（Ⅱ）若，求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，且，，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
19．（本小题满分12分）
已知某校6个学生的数学和物理成绩如下表：
学生的编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
数学 | 89 | 87 | 79 | 81 | 78 | 90 |
物理 | 79 | 75 | 77 | 73 | 72 | 74 |
（Ⅰ）若在本次考试中规定数学在80分以上（包括80分）且物理在75分以上（包括75分）的学生为理科小能手．从这6个学生中抽出2个学生，设表示理科小能手的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅱ）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用表示数学成绩，用表示物理成绩，求与的回归方程．
参考公式：，其中，．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆过点，且其离心率为，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别相交于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数（且）．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）对任意，恒成立，求的取值范围．
（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线．
（Ⅰ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求，的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线与相交于异于极点的交点为，与的交点为，求．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知关于的不等式有解，记实数的最大值为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）正数，，满足，求证．
咸阳市2020年高考模拟检测（二）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．A 2．C 3．D 4．B 5．D 6．B 7．A 8．B 9．D 10．A 11．D 12．B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．6 14．3 15． 16．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，
解得：， （4分）
∴，， （6分）
（Ⅱ）（错位相减法）
，①
①式两边同时乘，得，②
可得，， （8分）
，
， （10分）
． （12分）
18．解：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，，．
∵，∴．
又∵，，∴四边形为正方形，则．
∵平面，平面，∴．
∵，∴平面． （4分）
∵，，
∴四边形为平行四边形，∴，∴平面．
又平面，∴平面平面． （6分）
（Ⅱ）∵平面，∴为与平面所成的角，
即，则．
设，则，，．
以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．
∵平面，∴平面的一个法向量． （8分）
设平面的法向量，
∵，，
则，取，则． （10分）
设二面角的平面角为，
∴．
由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为． （12分）
19．解：（Ⅰ）由题意得的可能取值为0，1，2，
6个学生中理科小能手有2人，
，
， （4分）
． （4分）
∴的分布列为
0 | 1 | 2 | |
． （6分）
（Ⅱ），
， （8分）
（9分）
∴回归方程为：． （12分）
20．解：（Ⅰ）椭圆经过点，∴，又∵ （2分）
解之得，．所以椭圆的方程为 （4分）
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由对称性，设，．
∵，在椭圆上，
∴，
∴．
∴到直线的距离为，． （6分）
当直线的斜率存在时，设的方程为，
由得．
设，，则，． （8分）
∵，∴
∴．
∴，即． （10分）
∴到直线的距离为，
故存在定圆与直线总相切． （12分）
21．解：（Ⅰ）由． （1分）
当时，时，，单调递减；
时，，单调递增． （2分）
当时，时，，单调递减；
时，，单调递增． （3分）
综上所述，在区间上单调递减，在区间上单调递增． （4分）
（Ⅱ）由题意知对任意，
恒成立，
又由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以只需：
（8分）
设．
∵，∴在区间上单调递增；在区间上单调递减．
注意到，所以，当不等式（1）成立；当时不等式（1）不成立．
又，∴当不等式（1）也成立，
所以，时不等式（1）成立．此时，不等式（2）也成立，而当时，
，由函数的性质知，不等式（2）不成立．
综上所述，不等式组的解为． （11分）
又∵，∴实数的取值范围为． （12分）
（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的笫一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑．
22．解：（Ⅰ）曲线（为参数）可化为普通方程：， （2分）
由可得曲线的极坐标方程为， （3分）
曲线的极坐标方程为． （5分）
（Ⅱ）射线与曲线的交点的极径为， （6分）
射线与曲线的交点的极径满足，解得， （8分）
∴． （10分）
23．解：（Ⅰ）， （2分）
若不等式有解，则满足， （3分）
解得．∴． （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知正数，，满足，
∴， （7分）
． （9分）
当且仅当，时，取等号． （10分）
