陕西省咸阳市武功县2020届高三上学期第一次模拟考试 数学（理）
展开武功县2020届高三摸底考试
理科数学试题
注意事项：
1.试题分第I卷和第II卷两部分，用0.5mm黑色签字笔将答案答在答题纸上，考试结束后，只收答题纸。
2.全卷满分150分，考试时间120分钟。
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)。
1.已知集合
A.[－2，1] B.[－2，2] C.[1，2] D.(－∞，2]
2.若(1－2i)z＝5i，则|z|的值为
A.3 B.5 C. D.
3.已知向量，若为实数，，则＝
A. B. C.1 D.2
4.观察新生婴儿的体重，其频率分布立方图如图所示，则新生婴儿体重在(2700，3000]的频率为
A.0.25 B.0.3 C.0.4 D.0.45
5.已知命题p：－1<x<2，q：log2x<1，则p是q成立的
A.充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件
6.设等差数列{an}的前项和为Sn。若S4＝20，a5＝10，则a16＝
A.－32 B.12 C.16 D.32
7.如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是
A.BD//平面CB1D1 B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1 D.异面直线AD与CB1所成的角为600
8.现有四个函数：①y＝x·sinx；②y＝x·cosx；③y＝x·|cosx|；④y＝x·2x的图象(部分)如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是
A.①④②③ B.①④③② C.④①②③ D.③④②①
9.已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝
A. B. C. D.
10.直线l过点(0，2)，被圆C：x2＋y2－4x－6y＋9＝0截得弦长为，则直线l的方程是
A. B. C. D.
11.椭圆长轴上的两端点A1(－3，0)，A2(3，0)，两焦点恰好把长轴三等分，则该椭圆的标准方程为
A. B. C. D.
12.函数y＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是
A.a>0 B.a<0 C.a≥0 D.a≤0
第II卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.某校邀请6位学生的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有 种。
14.已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝
15.如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 。
16.如图，已知A，B是函数f(x)＝log2(16x)图象上的两点，C是函数g(x)＝log2x图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，若△ABC是等腰直角三角形(其中A为直角顶点)，则点A的横坐标为 。
三、解答题(本大题共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答)
(一)必考题(共60分)
17(本小题满分12分)在△ABC中，A＝1200，c>b，a＝，S△ABC＝，求b，c。
18.(本小题满分12分)如图，在直三棱锥ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝600。
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)求二面角A－A1C－B的余弦值。
19.(本小题满分12分)盒中装有一打(12个)乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中取3个来用，使用完后装回盒中，此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量，求ξ的分布列。
20.(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y＝x，且过点(4，)。
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求。
21.(本小题满分12分)已知函数。
(1)求函数y＝f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝ f(x)的图像与直线y＝1恰有两个交点，求a的取值范围。
(二)选考题(共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分)
22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程选讲
在极坐标系中，直线l的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为(为参数)，求直线l与曲线C交点P的直角坐标。
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
设不等式|x－2|<a(a∈N*)的解集为A，且。
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值。
武功县2020届高三摸底考试
理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1． A 2．D 3．B 4．B 5．C 6．D 7．D 8．A 9．C 10．D 11．A 12．B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．240 14．64 15．36 16．
三、解答题（本大题共70分. 解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题（共60分）
17．(本小题满分12分)
解：S△ABC＝bcsinA＝，∴bc＝4.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，
∴21＝(b＋c)2－2bc－2bccos120°＝(b＋c)2－2×4－2×4×(－)＝(b＋c)2－4，
∴b＋c＝5，而c>b，∴b＝1，c＝4.°
18．(本小题满分12分)
解：（1）证明：三棱柱为直三棱柱，
在△ABC中，，
由正弦定理得
如图，建立空间直角坐标系，
则
(2) 如图可取m为平面的法向量
设平面的法向量为n，
则
不妨取
19．(本小题满分12分)
解：ξ的可能取值为3，4，5，6
， ，
， .
此时旧球个数ξ的概率分布列为
ξ | 3 | 4 | 5 | 6 |
P |
20．(本小题满分12分)
解：（1）由题意，设双曲线方程为
将点代入双曲线方程，得，
即
所以，所求的双曲线方程为 ；
（2）由（1）知
因为，所以
又在双曲线上，则
.
21．(本小题满分12分)
解：（1）因为
令得，
由，
在根的左右的符号如下表所示
极小值 | 极大值 | 极小值 |
所以的递增区间为，
的递减区间为
（2）由（1）得到，
．
要使的图像与直线恰有两个交点，只要或，
即或．
（二）选考题（共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，按所做的第一题计分）
22．（本小题满分10分）
解：直线的普通方程为，①
曲线的直角坐标方程为，②
联立①②解方程组得 或
根据x的范围应舍去
故P点的直角坐标为(0，0).
23．（本小题满分10分）
解：(1)因为∈A，且A，所以<a，且≥a，解得<a≤.
又因为a∈N*，所以a＝1.
(2)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2时取等号，所以f(x)的最小值为3.
