陕西省榆林市2020届高三模拟考试文科数学试题

榆林市2019～2020年度高三第二次模拟考试

数学试卷（文科）

考生注意：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

2.请将各题答案填写在答题卡上.

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

解一元二次不等式求得集合，由此求得.

【详解】因为，所以.

故选：A

【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.

2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

利用复数除法运算求得，由此求得对应的坐标，进而求得在复平面内对应的点所在象限.

【详解】因为，对应点为，所以在复平面内对应的点位于第二象限.

故选：B

【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点所在象限的判断，属于基础题.

3.数列为递增的等比数列，且，，则公比（    ）

A. 或 B. 或 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等比数列的性质，由已知条件求得的值，由此求得的值.

【详解】因为，，且数列为递增教列，所以，，而，，从而.

故选：C

【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.

4.已知向量，，且与的夹角为，则x=（    ）

A -2 B. 2 C. 1 D. -1

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意，代入解方程即可得解.

【详解】由题意，

所以，且，解得.

故选：B.

【点睛】本题考查了利用向量数量积求向量的夹角，属于基础题.

5.为培养学生分组合作能力，现将某班分成三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组．某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在组中的那位的成绩与甲不一样，在组中的那位的成绩比丙低，在组中的那位的成绩比乙低．若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是

A. 甲、丙、乙 B. 乙、甲、丙

C. 乙、丙、甲 D. 丙、乙、甲

【答案】C

【解析】

因为在组中的那位的成绩与甲不一样，在组中的那位的成绩比乙低．所以甲、乙都不在B组，所以丙在B组. 假设甲在A组，乙在C组，由题得甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是乙、丙、甲.假设甲在C组，乙在A组，由题得矛盾，所以排序正确的是乙、丙、甲.故选C.

6.若双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由双曲线的一条渐近线方程为，求得，再结合离心率的定义，即可求解.

【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，即，

所以双曲线的离心率为.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质和双曲线的离心率的定义是解答的关键，着重考查了计算能力.

7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据程序框图的运行，循环算出当时，结束运行，总结分析即可得出答案.

【详解】由题可知，程序框图的运行结果为31，

当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

当时，.

此时输出.

故选：C.

【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.

8.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得的图象，据此分析可得答案.

【详解】解：因为是定义在上的奇函数，

所以它的图象关于原点对称，且，

已知当时，，

作出函数图象如图所示，

从图象知：，

则不等式的解集为.

故选：A.

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，考查数形结合思想.

9.某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5.现从这45名同学中按测试是否合格分层（分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种）抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有（    ）

A. 1人 B. 2人 C. 5人 D. 6人

【答案】C

【解析】

【分析】

根据分层抽样先求抽样比，再确定两项都合格的25人中应该抽取的人数.

【详解】由题意知两项都不合格的有5人，两项都合格的有25人，

仅立定跳远合格的有5人，仅100米跑合格的有10人.

从45人中抽取9人进行复测，则抽样比为，

故两项都合格的25人中应该抽取人.

故选：C.

【点睛】本题考查分层抽样，考查对概念的理解与应用，属于基础题.

10.在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

连接，，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），

不妨设正方体的棱长为2，取的中点为，连接，在等腰中，求出，在利用二倍角公式，求出，即可得出答案.

【详解】连接，，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），

不妨设正方体的棱长为2，则，，

在等腰中，取的中点为，连接，

则，，

所以，

即：，

所以异面直线，所成角的余弦值为.

故选：D.

【点睛】本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.

11.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（    ）

A. 是奇函数 B. 是偶函数

C. 的图象的一条对称轴方程为 D. 的图象的一个对称中心为

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三角函数的图象变换，得到函数，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，函数的图象向右平移个单位长度，

得到函数，

由三角函数的性质，可得为非奇非偶函数，所以A、B不正确；

令，则，所以是函数的一条对称轴，所以C正确.

由当时，，此时，所以D不正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查了推理与运算能力.

12.已知函数（）与（）的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数变化时，实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

设切点为，则通过代入法将用表示，再构造函数进行求值域，即可得答案.

【详解】设切点为，则整理得

由，解得.由上可知，

令，则.

因为，所以，在上单调递减，

所以，即.

【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数判断函数的单调性及求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.在等差数列中，，，则公差________.

【答案】3

【解析】

【分析】

设等差数列的公差为，根据，，列出方程组，即可求解.

【详解】设等差数列的公差为，

因，，可得，

解得.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的基本量的运算，其中解答中根据等差数列的通项公式和题设条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

14.小林手中有六颗不同的糖果，其中牛奶薄荷味、巧克力味、草莓味各两颗，现要将糖果随机地平均分给他的儿子与女儿两人，则这两个孩子都分三种口味的糖果的概率为________.

【答案】

【解析】

【分析】

先求得糖果随机地平均分给他的儿子与女儿两人共有20种分法，再求得这两个孩子都分到三种口味的糖果分法的种数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.

【详解】由题意，价格牛奶薄荷味、巧克力味、草莓味的六颗不同的糖果，

将糖果随机地平均分给他儿子与女儿两人，共有种分法，

其中这两个孩子都分到三种口味的糖果共有种分法，

所以这两个孩子都分三种口味的糖果的概率为,

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中正确理解题意，合理利用排列、组合的知识求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

15.已知M是抛物线上一点，F是C的焦点，过M作C的准线的垂线，垂足为N，若（O为坐标原点），的周长为12，则________.

【答案】4

【解析】

【分析】

由，得到，进而得到为等边三角形，即可求解.

【详解】如图所示，因为，所以，

又由M是抛物线C上的一点，可得，所以为等边三角形，

因为的周长为12，所以.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其应用，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.

16.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球O的球面上，底面BCD，，且，，利用张衡的结论可得球O的体积为________.

【答案】

【解析】

【分析】

将此三棱锥放置在一个长方体中，结合长方体的性质，求得半径，进而结合球的体积公式，即可求解.

【详解】如图所示，将此三棱锥放置在一个长方体中，可得长方体的长、宽、高分别为：，

所以球的直径为，即，

又由题意，可得，

所以球的体积为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了球的体积的计算，以及组合体的几何结构特征的应用，其中把三棱锥放置在一个长方体中，结合长方体的性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及计算能力.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.

（1）求；

（2）若点D是线段AC的中点，，，求的面积.

【答案】（1）； （2）.

【解析】

【分析】

根据正弦定理和三角恒等变换的公式及题设条件，化简得到，进而利用三角函数的基本关系式，即可求解的值；

（2）由（1）得，在结合余弦定理和向量的运算，列出方程，求得，根据三角形的面积，即可求解.

【详解】由题意，因为，

根据正弦定理，可得，

由，则，

可得，

又由，则，所以，

因为，则，所以，

又由，可得，解得.

（2）由（1）知，，所以

因为D为线段AC的中点，所以，

所以，

即，解得，

所以三角形的面积为.

【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

18.某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重.为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晚读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成下表：

（1）欲使测试优秀率为30%，则优秀分数线应定为多少分？

（2）依据第1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.

参考公式及数据：，.

【答案】（1）125分（2）列联表见解析；没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系

【解析】

【分析】

（1）根据题意，测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为，即可得答案；

（2）完成列联表，再代入卡方系数计算公式，即可得答案.

【详解】（1）因为测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为，

所以优秀分数线应定为125分.

（2）由（1）知，测试成绩优秀的学生有人，其中“赞成的”有10人；测试成绩不优秀的学生有人，其中“赞成的”有22人.

2×2列联表如下：

因此，没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.

【点睛】本题考查独立性检验、卡方系数计算，考查数据处理能力，属于基础题.

19.如图，四棱锥E﹣ABCD的侧棱DE与四棱锥F﹣ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝3，AD＝4，AE＝5，．

（1）证明：DF∥平面BCE．

（2）求A到平面BEDF的距离，并求四棱锥A﹣BEDF的体积．

【答案】（1）见解析（2）12

【解析】

【分析】

（1）由DE⊥平面ABCD推出DE⊥AD，勾股定理求出DE，同理由BF⊥平面ABCD求出BF，利用线面垂直的性质推出DE∥BF，结合推出，即可证明线面平行；（2）等体积法列出，即可求得A到平面BEDF的距离，四棱锥A﹣BEDF的体积V，代入相应值求解即可.

【详解】（1）证明：∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AD，

∵AD＝4，AE＝5，∴DE3，

∵BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AB，

∵AB＝3，AF，可得BF3，

又DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，∴DE∥BF，

又BF＝DE，∴四边形BEDF为平行四边形，故DF∥BE，

∵BE⊂平面BCE，DF平面BCE，

∴DF∥平面BCE；

（2）设A到平面BEDF的距离为h，

由已知可得，△DAB是以∠DAB为直角的直角三角形，且AB＝3，AD＝4，

则BD＝5，又DE⊥平面ABCD，且DE＝3，

由VE﹣ADB＝VA﹣BDE，得，

得h，即A到平面BEDF的距离为；

四棱锥A﹣BEDF的体积V12．

【点睛】本题考查线面平行的判定，线面垂直的性质，点到平面的距离的求法，多面体体积，属于中档题.

20.已知函数.

（1）若在上存在极大值，求的取值范围；

（2）若轴是曲线的一条切线，证明：当时，.

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）求得的导函数，对分成三种情况，结合在上存在极大值，求得的取值范围.

（2）首先根据轴是曲线的一条切线求得的值，构造函数，利用导数求得在区间上的最小值为，由此证得，从而证得不等式成立.

【详解】（1）解：，令，得，.

当时，，单调递增，无极值，不合题意；

当时，在处取得极小值，在处取得极大值，

则，又，所以；

当时，在处取得极大值，在处取得极小值，

则，又，所以.

综上，的取值范围为.

（2）证明：由题意得，或，即（不成立），或，

解得.

设函数，，

当或时，；当时，.

所以在处取得极小值，且极小值为.

又，所以当时，，

故当时，.

【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

21.已知O为坐标原点，，，直线AG，BG相交于点G，且它们的斜率之积为.记点G的轨迹为曲线C.

（1）若射线与曲线C交于点D，且E为曲线C的最高点，证明：.

（2）直线与曲线C交于M，N两点，直线AM，AN与y轴分别交于P，Q两点.试问在x轴上是否存在定点T，使得以PQ为直径的圆恒过点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析； （2）存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点T.

【解析】

【分析】

（1）设点，根据，求得点的轨迹方程为，联立方程组，解答坐标，结合斜率公式，即可求解.

（2）设，则，解得,，假设顶点T，使得PQ为直径的圆恒过点T，则，求得，即可得到结论.

【详解】（1）设点，因为，即，

整理得点的轨迹方程为，

联立方程组，解得且，

所以，所以.

（2）设，则，

所以直线AM的方程为，令，解得,

同理可得,

假设定点T，使得PQ为直径的圆恒过点T，则,即，

又由，可得，所以，

即在x轴上存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点T.

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.在直角坐标系中，已知点，的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求的普通方程和的直角坐标方程；

（2）设曲线与曲线相交于，两点，求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）消去参数方程中的参数，求得的普通方程，利用极坐标和直角坐标的转化公式，求得的直角坐标方程.

（2）求得曲线的标准参数方程，代入的直角坐标方程，写出韦达定理，根据直线参数中参数的几何意义，求得的值.

【详解】（1）由的参数方程（为参数），消去参数可得，

由曲线的极坐标方程为，得，

所以的直角坐方程为，即.

（2）因为在曲线上，

故可设曲线的参数方程为（为参数），

代入化简可得.

设，对应的参数分别为，，则，，

所以.

【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用利用和直线参数方程中参数的几何意义进行计算，属于中档题.

23.设函数（）的最小值为.

（1）求的值；

（2）若，，为正实数，且，证明：.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）分类讨论，去绝对值求出函数的解析式，根据一次函数的性质，得出的单调性，得出取最小值，即可求的值；

（2）由（1）得出，利用“乘1法”，令，化简后利用基本不等式求出的最小值，即可证出.

【详解】（1）解：

当时，单调递减；当时，单调递增.

所以当时，取最小值.

（2）证明：由（1）可知.

要证明：，即证，

因为，，为正实数，

所以

.

当且仅当，即，，时取等号，

所以.

【点睛】本题考查绝对值不等式和基本不等式的应用，还运用“乘1法”和分类讨论思想，属于中档题.