上海市松江区2020届高三5月模拟考质量监控测试数学试题

松江区2019学年度第二学期模拟考质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟）                 2020.5考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．若集合，，则=  ▲  ．2．已知复数，（是虚数单位），若是纯虚数，则实数= ▲  ．3．已知动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则点的轨迹方程为   ▲   ．4．等差数列的前项和为，若，则=  ▲  ．5．若的展开式中项的系数为，则实数=  ▲  ．6．已知数列的首项，且满足，数列的前项和为，则  ▲  ．7．用半径为米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器,则这个容器的容积是  ▲  立方米．8．若函数是偶函数，则=   ▲   ． 9．已知等边的边长为，点是其外接圆上的一个动点，则的取值范围是   ▲   ．10．已知函数，若对于任意的，总存在，使得，则的最小值为_   ▲   ． 11．已知集合，元素称为集合的特征元素．对于中的元素与，定义：．当时，若是集合中的非特征元素，则的概率为   ▲   ．12．已知函数且为常数和且为常数，有以下命题：①当时，函数没有零点；② 当时，恰有3个不同的零点，则； ③对任意的，总存在实数，使得有4个不同的零点，且成等比数列．其中的真命题是   ▲   ．（写出所有真命题的序号） 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为   (A)         (B)         (C)        (D)  14．若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是    (A)     (B)        (C)      (D) 或 15．在正方体中，、两点分别从点和点出发，以相同的速度在棱和上运动至点和点，在运动过程中，直线与平面所成角的变化范围为   (A)              (B)    (C)       (D) 16．已知实数，且，则当取得最大值时，这个数中，值为的个数为   (A) 个        (B) 个       (C)  个     (D)  个      三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点．（1）求异面直线与所成的角；（2）求点到平面的距离．    18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数．（1）求的最大值和最小正周期；（2）在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，且，求面积的最大值．    19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．    新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万套)，其中为工厂工人的复工率（）．A公司生产万件防护服还需投入成本(万元) ．（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；（2）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.     20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．如图，已知椭圆经过圆与轴的两个交点和与轴正半轴的交点．（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆上的动点，点为圆上的动点，求线段长的最大值；（3）若不平行于坐标轴的直线交椭圆于两点，交圆于两点，且满足     ，求证：线段的中点在定直线上．        21．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数的定义域为，若存在实常数及，对任意，当且时，都有成立，则称函数具有性质.（1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若函数具有性质，求及应满足的条件； （3）已知函数不存在零点，当时具有性质（其中），    记,求证：数列为等比数列的充要条件是或.     松江区2019学年度第二学期模拟考质量监控试卷高三数学参考答案 一．填空题1．      2．3       3．       4．       5．1        6．2   7．     8．    9．        10．      11．    12．② 二、选择题13．B   14．A   15．C   16．B 三．解答题17．如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点．（1）求异面直线AE与PD所成的角；（2）求点B到平面ECD的距离．解：（1）连AC、BD，两直线交于点O，连EO，因为E、O分别是PB、DB的中点，所以EO//PD，所以就是异面直线AE与PD所成的角   …………3分因为为正方形，且，所以            …………4分所以                           …………6分（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵，点E是棱PB的中点，∴，，，，，，，，…………8分设平面ECD的法向量，则由  得取z＝2，得，…………11分∴点B到平面ECD的距离：…………14分18．已知函数．（1）求的最大值和最小正周期；（2）在中，内角、、的所对的边分别为、、，已知，且，求面积的最大值.解：（1）………4分∴，  ………………………………5分    ………………………………6分（2）由  得  因为 ，所以，得 ，    ………………8分因为，由余弦定理，得 ，………………10分由  得 ，当且仅当时取得等号………12分∴面积，∴面积的最大值为            ………………14分 19．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率（）．A公司生产万件防护服还需投入成本(万元) ．（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；（2）对任意的(万元)，当复工率达到多少时， A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.解：（1）………………4分，…………6分 （2）若对任意的，公司都不产生亏损，则在恒成立       …………8分即，记，则，此时由于函数在单调递增              …………10分所以当时，      …………12分∴即当工厂工人的复工率达到时，对任意的，公司都不产生亏损. ……14分20．如图，已知椭圆经过圆与轴的两个交点和与轴正半轴的交点．（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆上的动点，点为圆上的动点，求线段长的最大值；（3）若不平行于坐标轴的直线交椭圆于两点，交圆于两点，且满足，求证：线段的中点在定直线上． 解：（1）在方程中，令，解得.令，解得..椭圆方程为：.…………4分（2）…………6分设，，则…8分时，               …………10分（3）解法一：设            …………12分设，代入得：即： 代入得：即…………14分          ，所以点E在直线上                …………16分解法二：设…………12分也是弦的中点，…………14分代入化简，得：所以点E在直线上．…………16分21．已知函数的定义域为，若存在实常数及，对任意，当且时，都有成立，则称函数具有性质，集合叫做函数的性质集.（1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若函数具有性质，求的性质集； （3）已知函数不存在零点，且当时具有性质（其中），若,求证：数列为等比数列的充要条件是或.解：（1）若函数具有性质，则存在实常数及，使得对任意的都成立…………2分即：，不合题意，舍函数不具有性质        …………4分（2）由题意：存在实常数及，使得对任意的都成立即：化简，得：…(1)对任意的都成立…………6分在(1)中令，得：，代入(1)，得：所以      解得或…………8分所以   或…………10分（3）证明：由函数不存在零点，且具有性质知，对任意的，都有即……①                         …………12分∴ ，记，则……②          …………14分充分性：当时，，反复代入②式得 即对任意的，都有，∴数列是以为首项，为公比的等比数列同理，当时，数列是以为首项，为公比的等比数列…………16分必要性：若数列是等比数列，不妨设，则又由①知    ∴，∴，即  ∴或即或.   …………18分证法二由函数不存在零点，且具有性质知，对任意的，都有即……①                 …………12分对①变形可得如下两式……②……③由②得……④由③得……⑤④-⑤得：∴            …………16分当.时，，当时，，此时是等比数列；当且时，显然不是等比数列．        …………18分