四川省绵阳南山中学2020届高三下学期第四次诊断模拟数学（文）试题

绵阳南山中学2020年绵阳高考适应性考试模拟

文科数学试题卷

2020年5月

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 定义运算，则满足（为虚数单位）的复数的共轭复数在复平面内对应的点在（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是（    ）

A. 46，45  B. 45，46

C. 46，47  D. 47，45

4. 2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时艰，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，绵阳市中心医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为（    ）

A. 0.7 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.3

5. 《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（    ）

A. 升 B. 升 C. 升 D. 升

6. 已知，是两个不同的平面，是一条直线，给出下列说法：

①若，，则；  ②若，，则；

③若，，则；  ④若，，则.

其中正确说法的个数为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

7. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（    ）

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

8. 已知函数，且，，则实数的值可能是（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

9. 已知点是抛物线：上的一点，是其焦点，定点，则的外接圆的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 从区间随机抽取个数，，…，，，，…，，构成个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 设函数是偶函数的导函数，在区间上的唯一零点为2，并且当时，，则使得成立的的取值范围是（    ）

A.   B.

C.   D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）

13. 已知向量与的夹角为，，，则______.

14. 若，，则______.

15. 已知实数，满足不等式组，则的最大值是______.

16. 一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为______.

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 的内角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，且.

（1）求角的大小；

（2）设数列满足，前项和为，若，求的值.

18. 如图，在直三棱柱中，，是的中点，.

（1）求证：平面；

（2）若异面直线和所成角为，求四棱锥的体积.

19. 某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2019年连续六个月（5一10月）的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示.

（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润（单位：百万元）与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并据此预测该公司2020年5月份的利润；

（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有，两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对，两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计表（表1）.若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？

（表1）

参考数据：；.

参考公式：回归直线方程，其中，.

20. 已知，为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆上异于，的动点，且面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆在点处的切线交于点，当点在椭圆上运动时，求证：以为直径的圆与直线恒相切.

21. 已知函数，.

（1）讨论函数在上的单调性；

（2）比较与的大小，并加以证明.

请考生在22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22. 选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，为极点，点在曲线：上，直线过点且与垂直，垂足为.

（1）当时，求及的极坐标方程；

（2）当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程.

23. 选修4-5：不等式选讲

已知不等式的解集为.

（1）求，的值；

（2）若，，，求的最小值.

绵阳南山中学2020年绵阳高考适应性考试模拟

文科数学试题卷参考答案

一、选择题

1-5：BAACD 6-10：BCBBC 11-12：AA

1. B  [集合，，所以.故选B.]

2. A  [因为.所以，所以复数在复平面内对应的点为，故选A.]

3. A  [由茎叶图可知，出现次数最多的是数45，将所有数从小到大排列后，中间两数为45，47，故中位数为46，.故选A.]

4. C

5. D  [设竹子自上而下各自节的容积构成数列，且，

则，得，∴竹子的容积为

，故选D.]

6. B  [①若，，则或；②若，，则或；③若，，则，正确；④若，，则或或与相交且与不垂直.故选B.]

7. C  [第一次循环，，，；第二次循环，，，；第三次循环，，，；第四次循环，，，，此时不成立，此时结束循环，所以输出的的值为4，故选C.]

8. B  [根据题意可知，点是图象的一个对称点，直线是图象的一条对称轴，所以会有，从而可以求得，所以有，从而得，从而求得可以是3，故选B.]

9. B  [将点坐标代入抛物线方程，得，解得，∴点，

据题设分析知，，，又（为外接球半径），∴，∴，∴外接圆面积，故选B.]

10. C  [如图，数对表示的点落在边长为1的正方形内（包括边界），两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆（阴影部分）内，则由几何概型的概率公式可得.故选C.]

11. A  [直线，即，圆与双曲线的右支没有公共点，则直线与双曲线的渐近线之间的距离大于或等于1，即，所以.]

12. A  [令，，当时，，

∴在上递减，而，∴在是奇函数，

∵在区间上的唯一零点为2，即在区间上的唯一零点为2，

∴，，，当时，由已知，得，符合，当时，，即，得，当时，，即，得，综上：.故选A.]

二、填空题

13. 6        14.      15. 12      16.

13. 6  [∵，，与的夹角为，∴，

又∵，∴，故答案为6.]

14.   [由，可得.又，结合，可得，，∴，故答案为.]

15. 12  [作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，分析知，平移直线，由图可得直线经过点时，取得最大值，且，故答案为12.]

16.   [设正方体为，旋转正方体使得平面平行于水平面放置，则易得当液面高于平面，低于平面时，任意转动正方体，液面的形状都不可能为三角形，此时液体体积大于三棱锥的体积，小于正方体的体积减去三棱锥的体积，即液体体积满足，得，即液体体积的取值范围为.]

三、解答题

17. [解]（1）由已知，又，所以.又由，所以，∴，

所以为直角三角形，所以，∴.

（2），

所以，

所以，∴，所以或.

18.（1）证明：如图，连交于点，连.

因为直三棱柱中，四边形是矩形，故点是中点，

又是的中点，故，

又平面，平面，故平面.

（2）解：由（1）知，又，故或其补角为异面直线和所成角.

设，则，，，故为等腰三角形，故，

故为等边三角形，则有，得到.

故为等腰直角三角形，故，又平面，平面，

故，又，故平面，

又梯形的面积，,

则四棱锥的体积.

19. 解（1）由折线图可知统计数据共有6组，即，，，，，，

计算可得，，

所以，.

所以月度利润与月份代码之间的线性回归方程为.

由题意推得2020年5月份对应的年份代码为13，故当时，（百万元），故预计甲公司2020年5月份的利润为35百万元.

（2）型新材料对应产品的使用寿命的平均数为（个月），

型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为（个月），

∵，∴采购型新材料更好.

注：若采用其他数字特征（如中位数、众数等）进行合理表述，也可酌情给分.

20. [解]（1）设椭圆的方程为，，

由题意知，解得，，∴椭圆的方程为.

（2）证明：设直线的方程为.

则点坐标为，中点的坐标为.

由得.

设点的坐标为，则，∴，.

∵点坐标为，当时，点的坐标为，直线轴，点的坐标为.此时以为直径的圆与直线相切.

当时，则直线的斜率，∴直线的方程为.

点到直线的距离.

又∵，∴，∴以为直径的圆与直线相切.

综上，当点在椭圆上运动时，以为直径的圆与直线恒相切.

21. [解]（1），

当时，即时，，∴在上单调递减；

当时，即时，令，得；令，得.

故在上单调递增，在上单调递减.

（2）.

证明如下：设，

∵为增函数，

∴可设，∵，，

∴，

当时，；当时，.

∴，

又，∴，

∴，

∵，∴，

∴，∴.

22. 解：（1）因为在上，当时，.

由己知得，设为上除点外的任意一点，连接，

在中，.

经检验，点在曲线上.所以，的极坐标方程为.

（2）设，在中，，即.

因为在线段上，且，故的取值范围是.

所以，点轨迹的极坐标方程为，.

23. [解]（1）原不等式可化为

或或，

解得或或，∴，

∴原不等式的解集为，故，.

（2）由（1）得，即，所以

.

当且仅当，即，时取等号，

故所求最小值为.