四川省绵阳南山中学2020届高三高考仿真模拟（一）数学（理）试题

2020年6月

绵阳南山中学2020年高考仿真模拟考试（一）

数学（理工类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间为120分钟．

考生作答时，须将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在复平面内，已知点所对应的复数为z，则为（    ）

A．1      B．      C．2      D．0

2．已知集合，，则（    ）

A．      B．      C．      D．

3．已知，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．      B．      C．      D．

4．执行如图所示的程序框图，则输出的s的值为（    ）

A．4950      B．5151      C．0      D．5050

5．已知函数，则的图象大致为（    ）

A．      B．      C．      D．

6．记为等差数列的前n项和，若，，则数列公差为（    ）

A．1      B．2      C．4      D．8

7．已知圆C与直线和圆都相切，则半径最小的圆C的标准方程为（    ）

A．      B．

C．      D．

8．从标号分别为1，2，3，4，5的5张标签中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则抽得的第一张标签的标号与第二张标签的标号恰好相差1的概率为（    ）

A．      B．      C．      D．

9．已知，则（    ）

A．      B．      C．      D．

10．如图，圆O是直角的外接圆，过点C作圆O的切线，交的延长线于点B，M为线段上的动点，连接交于N，，则（    ）

A．24      B．      C．39      D．18

11．已知A，B，C为抛物线上不同的三点，焦点F为的重心，则直线与y轴的交点的纵坐标t的取值范围是（    ）

A．      B．      C．      D．

12．若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A．      B．      C．      D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式的第五项为，则展开式的第六项的二项式系数为_________．

14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北45°的方向上，行驶后到达B处，测得此山顶在西偏北60°的方向上，仰角为30°，则此山的高度_____．

15．已知双曲线与直线有公共点，与直线没有公共点，则双曲线离心率取值范围是_______．

16．已知四边形为矩形，，E为的中点，将沿折起，连接，，得到四棱锥，M为的中点，与平面所成角为，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是________．

①一定存在某个位置，使平面；

②三棱锥的最大值为；

③点M的轨迹是圆的一部分，且；

④一定存在某个位置，使；

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知一个公比q不为1的等比数列和一个公差也为q的等差数列，且成等差数列．

（1）求q的值；

（2）若数列前n项和为，，试比较时，与的大小．

18．为调查某地区被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位被隔离者，结果如下：

（1）估计该地区被隔离者中，需要社区非医护人员提供帮助的被隔离者的比例；

（2）能否有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助与性别有关？

19．如图，正方形的边长为2，B，C分别为的中点．在五棱锥中，F为棱的中点，平面与棱分别交于点G，H．

（1）求证：；

（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小．

20．已知函数．

（1）当函数与函数图象的公切线l经过坐标原点时，求实数a的取值集合；

（2）证明：当时，函数有两个零点，且满足．

21．如图，椭圆的右焦点为F，过焦点F，斜率为k的直线l交椭圆于M、N两点（异于长轴端点），是直线上的动点．

（1）若直线平分线段，求证：．

（2）若直线l的斜率，直线的斜率成等差数列，求实数t的取值范围．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]

直线l的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，曲线C的参数方程为（为参数）

（1）写出C的极坐标方程；

（2）射线与C和l的交点分别为M，N，射线与C和l的交点分别为A、B，求四边形的面积．

23．[选修4-5：不等式选讲]

已知正实数x，y，z，求证：

（1）；

（2）则．

绵阳南山中学2020年高考仿真模拟考试（一）

数学（理工类）参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

二、填空题：本大题共小4题，每小题5分，共20分．

13．56  14．  15．  16．①②③

三、解答题（本大题共6小题，共70分．）

17．解：（1）由已知可得，            2分

∵是等比数列，∴．

解得或．

∵，∴               4分

（2）由（1）知等差数列的公差为，

∴，

，                 7分

，

当时，；当时，；当时，．

综上，当时，；

当时，；

当时，．       12分

18．解：（1）∵调查的500位被隔离者中有位需要社区非医护人员提供帮助，

∴该地区被隔离者中需要帮助的被隔离者的比例的估算值为．         4分

（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，．      8分

∵，

∴有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要帮助与性别有关．               12分

19．解：（1）证明：在正方形中，因为B是的中点，

所以．            2分

又因为平面平面，所以平面．               4分

因为平面，且平面平面，

所以．              6分

（2）因为底面，

所以．

如图建立空间直角坐标系，则．          8分

设平面的法向量为，

则即

令，则．所以．

设直线与平面所成角为，则．       10分

因此直线与平面所成角的大小为．            12分

20．解：（1）没公切线l与函数的切点为，则公切线l的斜率，公切线l的方程为：，将原点坐标代入，得，解得，公切线l的方程为：，                  2分

将它与联立，整理得．

令，对之求导得：，令，解得．

当时，单调递减，值域为，

当时，单调递增，值域为，

由于直线l与函数相切，即只有一个公共点，因此．

故实数a的取值集合为．                 6分

（2）证明：，要证有两个零点，只要证有两个零点即可．，即时函数的一个零点．       7分

对求导得：，令，解得．当时，单调递增；

当时，单调递减．当时，取最小值，，，必定存在使得二次函数，

即．因此在区间上必定存在的一个零点．         10分

练上所述，有两个零点，一个是，另一个在区间上．

下面证明．

由上面步骤知有两个零点，一个是，另一个在区间上．

不妨设则，下面证明即可．

令，对之求导得，

故在定义域内单调递减，，即．     12分

21．解：（1）设，线段的中点

由点差法得：，，          3分

所以，故               5分

由，所以设直线

∵

∵恒成立，所以                      7分

因为直线的斜率成等差数列，所以

，                     8分

∴

∴

，∴，∴．      12分

22．解：（1），所以C的极坐标方程为：             4分

（2），，                 6分

由与

∴                  10分

23．解：证明：（1）要证，

可证，需证，即证，当且仅当时，取等号，由已知，上式显然成立，故原不等式成立．        5分

（2）因为x，y，z均为正实数，

由不等式的性质知，当且仅当时取等当且仅当时取等

当且仅当时取等

因为，以上三式相加即证                    10分