四川省绵阳南山中学2020届高三下学期第四次诊断模拟数学（理）试题
展开绵阳南山中学2020年绵阳高考适应性考试模拟数学试题（理科）
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，，则集合=（ ）
A.{1，2} B.{1，2，3} C.{0，1，2} D.（0，1）
2.已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A.(-∞，3] B.[2，3] C.(2，3] D.（2，3）
3.若当时，函数始终满足，则函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
4.展开式的常数项为（ ）
A.120 B.160 C.200 D.240
5.用电脑每次可以自动生成一个属于区间（0，1）内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.下列说法正确的是（ ）
A.命题“，”的否定是“，”
B.命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题
C.“在上恒成立”⇔“在上恒成立”
D.命题“已知，，若，则或”的逆否命题是真命题
7.如图，在平行四边形中，，，，若、分别是边、上的点，且满足，其中，则的取值范围是（ ）
A.[0，3] B.[1，4] C.[2，5] D.[1，7]
8.已知，满足约束条件，若的最大值为4，则=（ ）
A.3 B.2 C.-2 D.-3
9.若，且，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知数列与的前项和分别为，，且，，，若，恒成立，则的最小值是（ ）
A. B. C.49 D.
11.四棱锥的三视图如图所示，四棱锥的五个顶点都在一个球面上，，分别是棱，的中点，直线被球面所截得的线段长为，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
12.若函数在区间（1，+∞）上存在零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C.（0，+∞） D.
二.填空题
13.已知是实数，是虚数单位，若是纯虚数，则=______.
14.设是等差数列的前项和，若，，则数列中的最大项是第______项.
15.若函数对任意的，都有成立，则=______。
16.已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，而且（为坐标原点），若与的面积分别为和，则最小值是______。
三.解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求面积的最大值.
18.在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分数分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖.按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示.
（1）求的值，并计算所抽取样本的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）填写下面的2×2列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下能否认为“获奖与学生的文、理科有关”.
| 文科生 | 理科生 | 总计 |
获奖 | 5 |
|
|
不获奖 |
|
|
|
总计 |
|
| 200 |
附表及公式：
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
.
19.如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面.
（1）求证：；
（2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为.
20.设椭圆的离心率，左焦点为，右顶点为，过点的直线交椭圆于，两点，若直线垂直于轴时，有
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（点异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.
21.已知函数，，，.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若曲线在点（0，1）处的切线与曲线切于点，求，，的值；
（Ⅲ）若恒成立，求的最大值.
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（选修4-4：参数方程与极坐标）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.
（1）写出曲线，的普通方程；
（2）过曲线的左焦点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，求.
23.（选修4-5：不等式选将）
已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若存在满足，求实数的取值范围.
绵阳南山中学2020年绵阳高考适应性考试模拟数学答案（理科）
一.选择题：ACBBC DCBBB AD 二.填空题：13.1 14.13 15.7 16.6
12解析：因为函数，所以，令，因为.当时，，，所以，
所以在（1，+∞）上为增函数，则，
当时，，所以，所以在（1，+∞）上为增函数.
则，所以在（1，+∞）上没有零点.当时，即时，
因为在（1，+∞）上为增函数，则存在唯一的.使得，且当时，；当时，，
所以当时，，为减函数；当时，，为增函数，
当时，，因为，当趋于+∞时，趋于+∞，
所以在内，一定存在一个零点，所以，故答案选D.
16.【解析】设直线的方程为，点，，直线与轴交点为
∴联立，可得，根据韦达定理得。∵∴，即，∵，位于轴的两侧∴∴设点在轴的上方，则∵∴
当且仅当，即时取等号
17.（Ⅰ）由题意知
由，可得，
由，可得，
所以函数的单调递增区间是；单调递减区间是
（Ⅱ）由，得.由题意知为锐角.所以
由余弦定理：可得：
即：，当且仅当时等号成立.因此所以面积的最大值为
18.解：（1），
.
（2）由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40，不获奖的人数为160，2×2列联表如下：因为，故在犯错误的概率不超过0.05的前提下能认为“获奖与学生的文、理科有关”.
| 文科生 | 理科生 | 总计 |
获奖 | 5 | 35 | 40 |
不获奖 | 45 | 115 | 160 |
总计 | 50 | 150 | 200 |
19.（1）证明：∵长方形中，，，为的中点，∴，则.
∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴；
（2）解：取中点，连接，则平面，
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则平面的一个法向量为，
设，，.
设平面的一个法向量为，则，取，得.由，解得.∴为上靠近点的处.
20.（1）设，因为所以有，又由得，且，得，，因此椭圆的方程为：
（2）设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.
由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，
解得，故.所以.
又因为的面积为，故，整理得，解得.
所以.所以，直线的方程为，或.
21.解：（Ⅰ），则.令，得，所以在上单调递增.令，得，所以在上单调递减.
（Ⅱ）因为，所以，所以的方程为.
依题意，，.于是与抛物线切于点（1，1），由得.所以，，（Ⅲ）设，则恒成立，易得.
（1）当时，因为，所以此时在（∞，+∞）上单调递增，①若，则当时满足条件，此时；②若，取且此时，所以不恒成立，不满足条件；
（2）当时，令，得.由，得；由，得.所以在上单调递减，在上单调递增.要使得“，恒成立”，必须有：“当时，，”成立.
所以，，则，.
令，，则.令，得.由，得；
由，得.所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，.从而，当，时，的最大值为.综上，的最大值为.
22.解：（1），即曲线的普通方程为.
∵，，，曲线的方程可化为，即
（2）曲线左焦点为（-4，0）直线的倾斜角为，，
∴直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线整理可得，
∴，设，对应的参数分别为，，则∴，，
∴.
23.解：（1）当时，，
①当时，不等式等价于，解得，即；
②当时，不等式等价于，解得，即；
③当时，不等式等价于，解得，即，
综上所述，原不等式的解集为
（2）由，即，得，
又，∴，即，解得
