宁夏回族自治区银川市第一中学2020届高三第三次模拟考试数学（理）试卷

 宁夏回族自治区银川市第一中学2020届高三第三次模拟考试数学（理）试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则A．     B．   C．   D．    2．若复数z与其共轭复数满足，则A．     B．       C．2        D．    3．抛物线的准线方程是A．     B．         C．         D．   4．若向量与平行，则A．     B．       C．         D．      5．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是A．若，则        B．若，则C．若，则      D．若，则或 6．已知函数y=f(x)的部分图像如图，则f(x)的解析式可能是A．        B．   C．     D．   7．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲，乙，丙，丁，戊五位同学参加A,B,C三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲，乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有A．24       B．36        C．48       D．64            8．已知函数，，则的大小关系为A．   B．      C．     D．    9．天文学中，为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念。星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗。到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森（M.R.Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为,已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是（当较小时，）A．1.24        B．1.25        C．1.26        D．1.27     10．已知数列的通项公式是，其中 的部分图像如图所示，为数列的前项和，则的值为A．      B．     C．     D．    11．已知双曲线的右焦点为F，过F作直线的垂线，垂足为M，且交双曲线的左支于N点，若,则双曲线的离心率为    A．      B．           C．2        D．       12．已知函数，若函数有4个零点，则实数m的取值范围为A．        B． C．    D．  二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个样本容量为36的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为_____________ .14．已知实数x,y满足，则的最大值为_____________ .15．等差数列的前n项和为，,则_____________.16．（本小题第一空2分，第二空3分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A、B距离之比为常数的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下列的问题：如图，在长方体中，，点E在棱AB上，BE=2AE，动点P满足.若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为_______;若点P在长方体内部运动，F为棱的中点，M为CP的中点，则三棱锥的体积的最小值为___________.  三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：(共60分)17．（12分）在锐角△ABC中，,________，（1）求角A;（2）求△ABC的周长l的范围．注：在①,且，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．18.（12分）在创建“全国文明城市”过程中，银川市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：组别[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数213212524114 （1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z∽N(μ，198)，μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表），①求μ的值；②利用该正态分布，求；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（单元：元）2050概率 现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．参考数据与公式：．若X∽N ，则，，．19.(12分)如图,四棱锥中，，，，，．（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．  20.（12分）已知函数（1）设，试讨论的单调性；（2）若函数在上有最大值，求实数a的取值范围  21.（12分）已知O为坐标原点，椭圆C：的左，右焦点分别为,且又恰为抛物线D:的焦点，以为直径的圆与椭圆C仅有两个公共点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线与D相交于A,B两点，记点A,B到直线的距离分别为，，直线与C相交于E,F两点，记的面积分别为.       ①证明：的周长为定值；②求的最大值.   （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线和曲线的直角坐标方程；（2）已知点，若直线与曲线交于两点，中点为M，求的值.  23．[选修4-5：不等式选讲]已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若，使得恒成立，求的取值范围.     
数学（理科）参考答案一．选择题题号123456789101112答案DADCACBACDBD二、填空题：13、700    14、22     15、    16、（本小题第一空2分，第二空3分）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（1）若选①，∵，且（2） .........8分.............10分............11分.............12分（1）②∵cos A(2b-c)＝acos C . .........6分（2） .........8分 ........10分 .........11分. .........12分（1）③＝cos2x＋cos xsin x－ ＝×＋×－ ........3分 .........5分. .........6分（2） .........8分 ........10分 .........11分. ........12分18.解（1）由题意得：∴，...........3分∵，...........6分（2）由题意知，...........7分获赠话费的可能取值为20，40，50，70，100，，，，，，...........10分∴的分布列为：  20 40 50 70 100      ...........11分∴．...........12分19.（1）证明：因四边形为直角梯形，且, ,,所以， 又因为。根据余弦定理得 ．...........2分所以，故. ．...........3分又因为, ,且,平面，所以平面，．...........4分 又因平面PBC，所以...........5分（2）由（1）得平面平面, 设为的中点，连结 ，因为,所以,,又平面平面，平面平面，平面............6分如图，以为原点分别以，和垂直平面的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，假设存在满足要求，设，即，所以............7分易得平面的一个法向量为. ............8分设为平面的一个法向量，， 由得，不妨取.............9分因为平面与平面所成的锐二面角为，所以，解得，（不合题意舍去）............11分故存在点满足条件，且.............12分20.解析：（Ⅰ）令， ；.……………………………….1分当时，，在上递增，无减区间.……….3分当时，令，令所以，在上单调递增，在上单调递减；.……………….5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，在上递增，在上递增，无最大值，不合题意；.……………………………….6分当时，在上递减，，在上递减，无最大值，不合题意；.……………………………….7分当时，，由（Ⅰ）可知在上单调递增，在上单调递减；.……….8分设，则；令；令在上单调递减，在单调递增；，即由此，当时，，即．所以，当时，．取，则，且．又因为，所以由零点存在性定理，存在，使得；.……………………………….11分当时，，即；当时，，即；所以，在上单调递增，在上单调递减，在上有最大值．综上，.……………………………….12分21.解（1）因为为抛物线D的焦点，故,所以c=1…………………….1分又因为以为直径的圆与椭圆C仅有两个公共点知：b=c…………………….2分所以，所以椭圆C的标准方程为…………………3分（1）①由题知，x=-1为抛物线D的准线，由抛物线的定义知： 又因为,等号当且仅当三点共线时成立所以直线过定点………………5分由椭圆定义得：………………6分②若直线的斜率不存在，则直线的方程为x=1因为,所以………………7分若直线斜率存在，则可设直线方程为，设由得，，所以………………8分由得，，设则，所以……………10分则综上，的最大值等于……………12分22.解：（1）因为直线，故，即直线的直角坐标方程为.……………2分因为曲线，则曲线的直角坐标方程为，即.………4分（2）设直线的参数方程为（为参数），将其代入曲线的直角坐标系方程得.设，对应的参数分别为，，则，， ……………6分所以M对应的参数，……………8分故……………10分23.解：（1）不等式可化为，当时，，，所以无解；……………1分当时，，所以；……………2分当时，，，所以.……………3分综上，不等式的解集是.……………5分（2），又，使得恒成立，则，……………8分，解得.所以的取值范围为.……………10分