宁夏回族自治区银川一中2020届高三第三次模拟考试数学（文）试题

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2020年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题卷

( 银川一中第三次模拟考试 )

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则

A．      B．     C．     D．   

2．若复数z与其共轭复数满足，则

A．      B．       C．2       D．   

3．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为

A．2x+y=0           B．       C．        D．

4．在区间内随机取两个数，则使得“命题‘，不等式成立’为真命题”的概率为

A．        B．         C．           D．

5．若向量与平行，则

A．      B．       C．         D．     

6．是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段 的中点到轴的距离为

   A．4              B．              C．             D．

7．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是

A．若，则    

B．若，则

C．若，则    

D．若，则或

8．已知函数y=f(x)的部分图像如图，则f(x)的解析式可能是

A．     B．  

C．       D．     

9．已知函数，，则的大小关系为

A．       B．      C．       D．   

10．天文学中，为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念。星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗。到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森（M.R.Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为,已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是（当较小时，）

A．1.24         B．1.25       C．1.26         D．1.27    

11．已知数列的通项公式是，其中的部分图

像如图所示，为数列的前项和，则

的值为

A．                  B．             C．          D．0

12．已知函数，若函数有4个零点，则实数m的取值范围为

A．        B．   

C．       D． 

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个样本容量为36的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为_____________ .

14．已知实数x,y满足，则的最大值为_____________ .

15．等差数列的前n项和为，,则_____________.

16．在三棱锥中，，点到底面的距离是；则三棱锥的外接球的表面积是_________.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分)

17．(12分)

某年级教师年龄数据如下表：

(1)求这20名教师年龄的众数与极差；

(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；

(3)现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．

18．（12分）

在锐角△ABC中，,________，

（1）求角A;

（2）求△ABC的周长l的范围．

注：在①,且，②，③

这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．

19．(12分)

如图所示的多面体中，四边形是正方形，平面平面，，.

（1）求证：；

（2）求点到平面的距离．

20．（12分）

已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线交椭圆于两点，若点始终在以为直径的圆内，求实数的取值范围．

21．（12分）

已知函数.

（1）若曲线与直线相切，求实数的值；

（2）若不等式 在定义域内恒成立，求实数的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.

（1）写出直线和曲线的直角坐标方程；

（2）已知点，若直线与曲线交于两点，中点为M，求的值.

23．[选修4-5：不等式选讲]

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若，使得恒成立，求的取值范围.

银川一中2020届高三年级第三次模拟考试（文科）参考答案

一．选择题

二、填空题：

13、700     14、22        15.     16.5     

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17【解析】(Ⅰ)年龄为30岁的教师人数为5，频率最高，故这20名教师年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即40－22＝18.      4分

(Ⅱ)             8分

(Ⅲ)设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A.年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有＝21种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所以所选的2位教师年龄不全相同的选法共有21－9＝12种，所以P(A)＝＝.  12分

18．（1）若选①，∵，且

（2） .........8分

.............10分

............11分

.............12分

（1）②∵cos A(2b-c)＝acos C

. .........6分

（2） .........8分

........10分

.........11分

. .........12分

（1）③

＝cos2x＋cos xsin x－ 

＝×＋×－

........3分

.........5分

. .........6分

（2） .........8分

........10分

.........11分

. ........12分

19）解法一：（Ⅰ）四边形是正方形，

,

又, , ，

，····························································2分

又，

，····························································3分

在中，，

由余弦定理得，，,.···············································4分

又,

.······························································5分

又

. ·····························································6分

（Ⅱ）连结,由（Ⅰ）可知，，

四边形是正方形 

又，

A到的距离等于B到的距离. 即B到面DFC的距离为AE.

······························································7分

在直角梯形EFCD中， ,

, ·····························································8分

,  ·····························································9分

在直角梯形EFBA中，

可得在等腰中，，

, ·····························································10分

设点D到平面BFC的距离为d,

，即，

点到平面的距离为．··············································12分

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）过点E做连结.

, ,

, 在中， ，······················································7分

又, ，

E到面ABCD的距离等于F到面ABCD的距离·····························8分

． 9分

在直角梯形EFBA中，        

, ,可得

······························································10分

设D点到平面BFC的距离为d,

即=  ，

点到平面的距离．

20、（本题满分12分）

解：（1）由题意知，， （4分）椭圆的标准方程为：.       （4分）

（2）设联立，消去，得：  （5分）

依题意：直线恒过点，此点为椭圆的左顶点，所以① ，

由（*）式，②，得 ③ ，

由①②③，          （8分）

由点B在以PQ为直径圆内，得为钝角或平角，即.  

.即  （10分）

整理得，解得.  

                         12分

21．(1)由f(x)=lnx-ax, 得f’(x)=, 设切点横坐标为x0, 得3分

  解之得    即实数a的值为1。        5分

（2）由(x+1)f(x)=(x+1)(lnx-ax)≤lnx-在定义域内恒成立。

得在定义域内恒成立。                7分

令g(x)= (x>0)    g’(x)=

再令h(x)=     h’(x)=

所以h(x)在（0，+∞）递减，  又h(e)=0.             9分

当x∈(0,e)  h’(x)>0,   h(x)在（0，e）上递增

当x∈(e,+∞), h’(x)<0,  h(x)在(e,+∞)上递减。

所以g(x)在x=e处取得最大值g(e)=                 11分

所以a≥                                        12分

22.解：（1）因为直线，故，

即直线的直角坐标方程为.……………2分

因为曲线，则曲线的直角坐标方程为，即.………4分

（2）设直线的参数方程为（为参数），

将其代入曲线的直角坐标系方程得.

设，对应的参数分别为，，则，， ……………6分

所以M对应的参数，……………8分

故……………10分

23.解：（1）不等式可化为，

当时，，，所以无解；……………1分

当时，，所以；……………2分

当时，，，所以.……………3分

综上，不等式的解集是.……………5分

（2），

又，使得恒成立，则，……………8分

，解得.

所以的取值范围为.……………10分