宁夏回族自治区银川一中2020届高三第三次模拟考试数学（文）试题

2020年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则=（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出集合A，B，再求集合B的补集，然后求

【详解】，所以 .

故选：D

【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.

2.若复数z与其共轭复数满足，则（    ）

A  B.  C. 2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】

设，则，得到答案.

【详解】设，则，故，，

，.

故选：.

【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.

3.已知双曲线的离心率为，则其渐近线为(    )

A. 2x+y=0 B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

本题由双曲线标准方程，离心率出发来求解其渐近线，主要考察学生对双曲线概念，基本关系的理解与应用，属于简单题型．

请在此填写本题解析!

解 因为,

          =25,

因为+,所以，+=25

即化简得=,所以答案为D.

4.在区间内随机取两个数，则使得“命题‘，不等式成立’为真命题”的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由该命题为真命题得出，画出不等式组表示的平面区域，根据几何概型的计算公式求解即可.

【详解】，不等式成立，即

则

作出的可行域，如下图所示

则使得该命题为真命题的概率

故选：A

【点睛】本题主要考查了线性规划的简单应用，面积型几何概型求概率问题，属于中档题.

5.若向量与平行，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量平行得到，故，计算得到答案.

【详解】向量与平行，则，故，

.

故选：.

【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，向量的模，意在考查学生的计算能力.

6.是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到 轴的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出A,B的中点横坐标的和,求出线段AB的中点到y轴的距离

【详解】是抛物线的焦点, 

,准线方程, 

设,

, 

, 

线段AB的中点横坐标为, 

线段AB的中点到y轴的距离为

所以D选项是正确的

【点睛】抛物线的弦长问题一般根据第一定义可简化运算．

7.已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则或

【答案】A

【解析】

【分析】

根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.

【详解】对于：若，则或，故错误；正确.

故选：.

【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.

8.已知函数的部分图像如图，则的解析式可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据定义域排除A，根据奇偶性排除D，根据单调性排除B，即可得出答案.

【详解】由图象可知，函数在上单调递增，且为奇函数

对A项，由于定义域不是，则A错误；

对B项，当时，

；

则函数在不是单调递增，则B错误；

对C项，，则函数在上单调递增

又，则函数为奇函数，则C正确；

对D项，，则函数不是奇函数，则D错误；

故选：C

【点睛】本题主要考查了根据图象判断解析式，属于中档题.

9.已知函数，，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到，，，即可得解；

【详解】解：因为，定义域为，

故函数是奇函数，又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递增，

由，，

所以

即

故选：A

【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.

10.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足.其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是(当较小时， )

A. 1.24 B. 1.25 C. 1.26 D. 1.27

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，代值计算，即可得，再结合参考公式，即可估算出结果.

【详解】根据题意可得：

可得，解得，

根据参考公式可得，

故与最接近的是.

故选：C.

【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.

11.已知数列的通项公式是，其中 的部分图像如图所示，为数列的前项和，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据图像得到，，，计算每个周期和为0，故，计算得到答案.

【详解】，故，故，，，

故，故，当时满足条件，故，

，，，

，，，，，，每个周期和为0，

故.

故选：.

【点睛】本题考查了数列和三角函数的综合应用，意在考查学生计算能力和综合应用能力.

12.已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数零点定义可知有四个不同交点，画出函数图像可先求得斜率的大致范围.根据函数在和的解析式，可求得与两段函数相切时的斜率，即可求得的取值范围.

【详解】函数，

函数有4个零点，即有四个不同交点.

画出函数图像如下图所示：

由图可知，当时，设对应二次函数顶点为，则，，

当时，设对应二次函数的顶点为，则，.

所以.

当直线与时的函数图像相切时与函数图像有三个交点，此时，化简可得.

，解得 （舍）；

当直线与时的函数图像相切时与函数图像有五个交点，此时，化简可得.

，解得 （舍）；

故当有四个不同交点时.

故选：B.

【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法，函数零点与函数交点的关系，直线与二次函数相切时的切线斜率求法，属于难题.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为_____.

【答案】700

【解析】

【分析】

设从高三年级抽取的学生人数为2x人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x的值，可得高三年级的学生人数.

【详解】设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x﹣2，2x﹣4.

由题意可得，∴.

设我校高三年级的学生人数为N，再根据，求得N＝700

故答案为：700.

【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题.

14.已知实数满足，则的最大值为_______.

【答案】22

【解析】

【分析】

，作出可行域，利用直线的截距与b的关系即可解决.

【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，

由可得，观察可知，当直线过点时，取得最大值，

由，解得，即，所以.

故答案为：22.

【点睛】本题考查线性规划中线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题.

15.等差数列的前n项和为，，则_____.

【答案】

【解析】

【分析】

计算得到，再利用裂项相消法计算得到答案.

【详解】，，故，故，

.

故答案为：.

【点睛】本题考查了等差数列的前n项和，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.

16.在三棱锥中，，点到底面的距离是；则三棱锥的外接球的表面积是_________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据线面垂直的判定定理以及勾股定理得出，平面，将三棱锥放入长方体中，得出长方体的外接球的半径，即为三棱锥的外接球的半径，再由球的表面积公式得出答案.

【详解】取中点为，连接，过点作的垂线，垂足为

平面，

平面

平面，

，平面，

平面，即

在中，

，与重合，即，平面

将三棱锥放入如下图所示的长方体中

则该三棱锥的外接球的半径

所以三棱锥的外接球的表面积

故答案为：

【点睛】本题主要考查了多面体的外接球的问题，涉及了线面垂直的证明，属于中档题.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分）

17.某年级教师年龄数据如下表：

(1)求这20名教师年龄的众数与极差；

(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；

(3)现在要在年龄为29岁和31岁教师中选2位教师参加学校有关会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．

【答案】（1）30,18；（2）见解析；（3）

【解析】

试题分析：

(1)由所给的年龄数据可得这20名教师年龄的众数为30，极差为18.

(2)结合所给的数据绘制茎叶图即可；

(3)由题意可知，其中任选2名教师共有21种选法，所选的2位教师年龄不全相同的选法共有12种，结合古典概型计算公式可得所求概率值为.

试题解析：

(1)年龄为30岁的教师人数为5，频率最高，故这20名教师年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即40－22＝18.

(2)

(3)设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A.年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有＝21种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所以所选的2位教师年龄不全相同的选法共有21－9＝12种，所以P(A)＝＝.

18.在锐角△ABC中，，________，

（1）求角A；

（2）求△ABC的周长l的范围．

注：在①，且，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．

【答案】（1）若选①，（2）

【解析】

【分析】

（1）若选①，，得到，解得答案.

（2）根据正弦定理得到，故，根据角度范围得到答案.

【详解】（1）若选①，∵，且

，，.

（2），

故，

，锐角△ABC，故.

,.

（1）若选②，，则，

，，，（2）问同上；

（1）若选③＝＋－

＝×＋×－，

，（2）问同上；

【点睛】本题考查了向量的数量积，正弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

19.如图所示多面体中，四边形是正方形，平面平面，，，.

（1）求证：；

（2）求点D到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理以及性质，即可证明；

（2）利用等体积法求解即可.

【详解】（1）四边形是正方形，

又平面平面，平面平面，平面

平面

又平面

在中，

由余弦定理得，，∴，∴.

又，平面

∴平面.

又平面

∴.

（2）连结，由（1）可知，平面

四边形是正方形，∴

又面，面

∴面

A到的距离等于B到的距离.即B到面的距离为.

在直角梯形中，

∴

∴，

在直角梯形中，

可得在等腰中，，

∴，

设点D到平面的距离为d，

，即，

点D到平面的距离为.

【点睛】本题主要考查了证明线线垂直以及求点到平面的距离，属于中档题.

20.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线交椭圆于两点，若点始终在以为直径的圆内，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）题设条件为易得椭圆方程；

（2）设，直线方程与椭圆方程联立，消元得一元二次方程，由韦达定理可得，注意到直线恒过定点，此为椭圆的左顶点，因此有，，这样可得出点坐标，点始终在以为直径的圆内，则，由此可得的范围．

【详解】（1）由题意知，， 椭圆的标准方程为：.  

（2）设联立，消去，得：    

依题意：直线恒过点，此点为椭圆的左顶点，所以① ，

由（*）式，②，得 ③ ，由①②③，，

由点B在以PQ为直径圆内，得为钝角或平角，即.

.即

整理得，解得.

【点睛】本题考查椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交中的范围问题．由于直线过定点是椭圆左顶点，即其中一个交点已知了，因此可求出另一交点坐标，利用求得结论．本题属于中档题．考查学生的运算求解能力．

21.已知函数.

（1）若曲线与直线相切，求实数的值；

（2）若不等式在定义域内恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

分析：（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再求导，通过导数的符号变化确定函数的单调性，进而求出极值和最值.

详解：（1），

设切点的横坐标为，由题意得，

解得，，

所以实数的值为1.

（2）由题意，在定义域内恒成立，

得在定义域内恒成立，

令，

则，

再令，则，

即在上单调递减，又，

所以当时，，从而，在上单调递增；

当时，，从而，在上单调递减；

所以在处取得最大值，

所以实数的取值范围是.

点睛：1.在处理曲线的切线时，要注意区分“在某点的切线”和“过某点的切线”，前者的点一定为切点，但后者的点不一定在曲线上，且也不一定为切点；

2.在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用“恒成立”进行处理.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

[选修4－4：坐标系与参数方程]

22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.

（1）写出直线和曲线的直角坐标方程；

（2）已知点，若直线与曲线交于两点，中点为M，求的值.

【答案】（1）..（2）

【解析】

【分析】

（1）直接利用极坐标和参数方程公式计算得到答案.

（2）设直线的参数方程为，代入方程得到，，代入计算得到答案.

【详解】（1）直线，故，

即直线的直角坐标方程为.

因为曲线，则曲线的直角坐标方程为，

即.

（2）设直线的参数方程为（为参数），

将其代入曲线的直角坐标系方程得.

设，对应的参数分别为，，则，，

所以M对应的参数，故.

【点睛】本题考查了参数方程和极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.

[选修4-5：不等式选讲]

23.已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若，使得恒成立，求的取值范围.

【答案】(1) .(2) .

【解析】

【分析】

（1）先由题意得，再分别讨论，，三种情况，即可得出结果；

（2）先由含绝对值不等式的性质，得到，再由题意，可得，求解，即可得出结果.

【详解】（1）不等式 可化为，

当时， ，，所以无解；

当时， 所以；

当时，， ，所以，

综上，不等式的解集是.

（2）因为

又，使得 恒成立，则，

，解得.

所以的取值范围为.

【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.