宁夏回族自治区银川一中2020届高三下学期第五次模拟考试数学（理）试题
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2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题卷
( 银川一中第五次模拟考试 )
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，．若，则
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数
A． B． C． D．
3．平面向量与的夹角为，=(1,0),||=1，则|+2|=
A．2 B． C．3 D．7
4．过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为
A． B．2 C． D．2
5．若，则
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
6．华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数使得是素数，素数对称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为
A． B． C． D．
7．运行如图所示的程序框图，若输入的a的值为2时，
输出的S的值为，则判断框中可以填
A．k<3？ B．k<4？
C．k<5？ D．k<6？
8．在相距2km的、两点处测量目标，
若，则、
两点之间的距离是
A．km B．
C． D．3km
9．数列的首项为3，为等差数列且，
若,,则
A．11 B．8 C． 3 D．0
10．设是奇函数且满足，当时，，
则
A． B． C． D．
11．已知F1，F2是椭圆C1：与双曲线C2的公共焦点，A是C1，C2在第二象限的公共点．若，则C2的离心率为
A． B． C. D．
12．已知函数是定义在的偶函数，且.当 时，，若方程有300个不同的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．设变量满足约束条件则目标函数的最小值为 .
14．已知曲线，则曲线上的点到直线的最短距离是_________.
15．已知等比数列中，各项都是正数，前项和为，且成等差数列， 若，则_________.
16．已知三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=2，BC=2AD，直线AD与底面BCD所成角为，则此三棱锥外接球的表面积为_____________.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分)
17．（12分）
已知函数（）的图像过点.
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间.
18.（12分）
空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：
日均浓度 | ||||||
空气质量级别 | 一级 | 二级 | 三级 | 四级 | 五级 | 六级 |
空气质量类型 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
甲、乙两城市2020年5月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：
（1）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？并简要说明理由.
（2）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；
（3）在乙城市15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望．
19．（12分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD，
底面ABCD是直角梯形，，，
AB=2, AD=CD=1，E是PB的中点。
（1）求证：平面平面PBC；
（2）若二面角的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
20．(12分)
已知抛物线的焦点为F,直线，直线l与C的交点为A,B，同时直线，直线m与C的交点为C、D,与y轴交于点P.
(1)求抛物线E的方程；
(2)若求|CD|的长.
21．(12分)
已知函数
(1)当a=-2时,求函数f(x)的极值;
(2)若ln[e(x+1)]≥2- f(-x)对任意的x∈[0, +∞)成立,求实数a的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
已知曲线C，的参数方程为，(θ为参数)。以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ。
(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)若过点F(1，0)的直线l与C1交于A、B两点，与C2交于M、N两点，求：的取值范围.
23．[选修4-5：不等式选讲]
已知f(x)＝|x－1|＋1，F(x)＝。
(1)解不等式f(x)≤2x＋3；
(2)若方程F(x)＝a有三个不同的解，求实数a的取值范围.
银川一中2020届高三年级第五次模拟考试（理科）参考答案
一．选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | A | B | D | A | D | C | A | C | D | B | A |
二．填空题：13. 3 14. 15.15 16.
17.（12分）
（1）, ………………………………3分
∵,∴.…………………………………6分
（2）…8分
, …………………10分
∴当时，
即在区间上单调递增. ……………12分
- （12分）
（1）由茎叶图可知：甲城市空气质量一级和二级共有10天，而乙城市空气质量一级和二级只有5天，因此甲城市空气质量总体较好．……………4分
（2）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为，
乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为，……………6分
在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为.……8分
（3）的取值为0，1，2，
，，．……10分
的分布列为：
0 | 1 | 2 | |
数学期望．………………12分
19 . （ 满分12分）
解析：（1）证明：平面ABCD，平面ABCD，，……2分
，，
，
又，平面PBC，……………4分
∵平面EAC，平面平面PBC ……………6分
（2）以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，－1，0）。
设P（0，0，a）（a>0），则E（，，），
，，，
取=（1，－1，0）……………8分
则，为面PAC的法向量。
设为面EAC的法向量，则，
即，取，，，
则，
依题意，，则a=1。……………10分
于是，
设直线PA与平面EAC所成角为，则，
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为。……………12分
20.（12分））
解：(1)得：.…………………………2分
设，，
由求根公式得:，，.
则.…………………………6分
⑵设直线，
得：.
，…………………………6分
设，，
可知，，， ，
.
解之得：或-8.…………………………8分
，…………………………10分
当时，；当时，.…………………………12分
21.（满分12分）
