宁夏六盘山高级中学2020届高三下学期模拟考试数学（文）试题

宁夏六盘山高级中学2020届高三第二次模拟考试文科数学试卷第Ⅰ卷（选择题)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，再由集合并集的概念即可得解.【详解】由题意，所以.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解和集合并集的运算，属于基础题.2.已知复数满足，则的共轭复数为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由复数的运算法则可得，再由共轭复数的概念即可得解.【详解】由题意，所以.故选：D.【点睛】本题考查了复数的运算和共轭复数的概念，属于基础题.3.（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由二倍角余弦公式的逆运用可得解.【详解】由题意.故选：B.【点睛】本题考查了二倍角余弦公式的应用，属于基础题.4.设向量，满足，，则（   ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 5【答案】A【解析】【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【详解】∵||，||，∴分别平方得2•10，2•6，两式相减得4•10﹣6＝4，即•1，故选A．【点睛】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．5.已知双曲线（，）的渐线方程为，则此双曲线的离心率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先根据渐近线方程可知，代入即可求得结果。【详解】因为双曲线（，）的渐线方程为，所以，所以双曲线的离心率 。故选C。【点睛】本题考查双曲线的离心率，属于基础题。求圆锥曲线的离心率一般有三种类型：（1）直接求；（2）构造关于的齐次式求解；（3）构造关于的不等式，求的取值范围。6.设，为两条直线，若直线平面，直线平面，下列说法正确的是（    ）①若，则②若，则③若，则④若，则A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ③④【答案】C【解析】【分析】根据线线、线面、面面平行、垂直有关定理对四个说法逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于①，由于直线平面，，所以平面，所以，故①正确.对于②，直线位置关系无法判断，故②错误.对于③，由于直线平面，，所以平面，而平面，所以，故③正确.对于④，可能相交，故④错误.综上所述，正确的说法是①③.故选：C.【点睛】本小题主要考查空间线线、线面、面面有关命题真假性的判断，属于基础题.7.若满足约束条件 ，则 的最小值是（    ）A. 3 B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由题意画出可行域，转化目标函数为，数形结合即可得解.【详解】由题意画出可行域，如图，转化目标函数为，上下平移直线，数形结合可知，当直线过点时，取最小值，由可得点，则.故选：D.【点睛】本题考查了简单的线性规划，属于基础题.8.有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，有人走访了这四位大学生，甲说：“是丙获奖.”乙说：“是丙或丁获奖.”丙说：“乙、丁都未获奖.”丁说：“我获奖了.”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是（   ）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】D【解析】【分析】根据四位大学生的话只有两人说的是对的，假设其中一人说的对，如果和条件不符合，就说明假设的不对，如果和条件相符，则按假设的方法解决问题.【详解】若甲说的对，则乙、丙两人说的也对，这与只有两人说的对不符，故甲说的不对；若甲说的不对，乙说的对，则丁说的也对，丙说的不对，符合条件，故获奖的是丁；若若甲说的不对，乙说的不对，则丁说的也不对，故本题选D.【点睛】本题考查了推理的应用，假设法是经常用的方法.9.已知函数是上的奇函数，且对任意，都有．若，则的大小关系为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由函数单调性的定义可知函数在上单调递减，再由奇函数的性质可得函数在上单调递减，结合即可得解.【详解】对任意，都有，对任意，都有，函数在上单调递减，又函数是上的奇函数，函数在上单调递减，又，即.故选：A.【点睛】本题考查了函数单调性、奇偶性的应用，考查了对数式的大小比较，属于中档题.10.执行如图的程序框图，则输出的值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】执行程序框图，注意变量的取值的变化，逐步计算即可得解.【详解】当，时，进入循环；，，此时，进入循环；，，此时，进入循环；，，此时，进入循环；，，此时，进入循环；，，此时，进入循环；，，此时，输出.故选：C.【点睛】本题考查了程序框图的求解，属于基础题.11.2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲乙丙三名医生，抽调三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战．其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，则医生甲和护士被选为第一医院工作的概率为（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用列举法，将所有情况列举出来，再利用古典概型求概率.【详解】解：根据题意，选一名护士与一名医生去第一医院，有9种情况，如下：甲，甲，甲，乙，乙，乙，丙，丙，丙，而医生甲和护士被选为第一医院工作有1种情况，所以概率为：.故选：D.【点睛】本题考查实际问题中古典概型求概率，理解题目是关键.12.已知抛物线上一动点到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值为，F是抛物线的焦点，是坐标原点，则的内切圆半径为A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【详解】由抛物线的定义将到准线的距离转化为到焦点的距离，到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值，也即为最小，当三点共线时取最小值．所以，解得，由内切圆的面积公式，解得．故选D．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则_________．【答案】【解析】【分析】由奇函数的性质可得，代入运算即可得解.【详解】函数是定义在上的奇函数，且当时，，.故答案为：.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，属于基础题.14.函数 的最小值是_________【答案】1【解析】【分析】利用辅助角公式可以得到，，从而可求函数的最小值.【详解】因为，所以，因为，故，所以，所以当时，的最小值为，【点睛】对于形如的函数，我们可将其化简为，其中，．15.已知长方体全部棱长和为，表面积为，则该长方体的外接球的表面积为_________．【答案】【解析】【分析】设长方体的长、宽、高分别为、、，由题意可得，化简可得，由求出球的半径后，代入球的表面积公式即可得解.【详解】设长方体的长、宽、高分别为、、，由题意得，所以，所以，所以该长方体外接球的半径,所以该长方体外接球的表面积.故答案为：.【点睛】本题考查了长方体的几何特征及其外接球表面积的求解，考查了运算求解能力，属于中档题.16.已知三角形中，内角，，所对的边分别为，，，满足，，则______．【答案】【解析】【分析】由余弦定理，角化边可得，再由三角形的内角和为，可得解.【详解】∵，∴，∴，∴，可得，∵，∴.故答案为．【点睛】本题主要考查了余弦定理的边角互化，属于基础题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．必做题：共60分．17.在等差数列中，，且、、成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列的公差不为，设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ），或；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由，，成等比数列,则,将的通项公式代入，可解出的公差,可得通项公式.（Ⅱ）由（Ⅰ）有，然后分组求和即可.【详解】（Ⅰ）设数列的公差为.因为，，成等比数列，所以，又，所以，即解得或.当时，.当时，. （Ⅱ）因为公差不为，由（Ⅰ）知，则，所以.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的求法和应用，用分组求和的方法求前项和，属于基础题.18.为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示： 愿意购买该款手机不愿意购买该款手机总计40岁以下 600 40岁以上800 1000总计1200   （1）根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时间；（2）请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．参考公式：，其中．参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828  【答案】（1）7.76年.（2）见解析，有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．【解析】【分析】（1）由频率直方图，求出各组的频率，利用平均数公式，即可求解；（2）根据列联表数据关系补全列联表，求出对比参考数据，即可得出结论.【详解】解：（1）该款手机的平均使用时间为7.76年.（2） 愿意购买该款手机不愿意购买该款手机总计40岁以下400600100040岁以上8002001000总计12008002000  可知有99．9％把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．【点睛】本题考查由频率直方图求平均数，考查两个变量独立性检验，考查计算能力，属于中档题.19.如图，在四棱锥中，平面 平面，，， .(1)证明 (2)设点在线段上，且，若的面积为，求四棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）推导出BA⊥AD，BA⊥PD，AP⊥PD，从而PD⊥平面PAB，由此能证明PD⊥PB．（2）设AD＝2a，则AB＝BC＝AP＝a，PDa，，得为等腰三角形，利用推得面积，进而求出a＝2，由此能求出四棱锥P﹣ABCD的体积．【详解】(1) 平面平面 ，平面，， 在中，，，由正弦定理可得： ，，∴PD⊥PA,又PA∩AB=A,∴ 平面，.(2)取的中点，连结， ，设AD＝2a，则AB＝BC＝AP＝a，PDa,则，∴为等腰三角形，且底边BC上的高为，的面积为. 的面积为，解得：，四梭锥的体积为 .【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知圆，圆，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设不经过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据动圆P与圆M外切并且与圆N内切，得到，，从而得到，得到，从而求出椭圆的标准方程；（2）直线l斜率存在时，设，代入椭圆方程，得到，，表示出直线QA与直线QB的斜率，根据，得到，的关系，得到直线所过的定点，再验证直线l斜率不存在时，也过该定点，从而证明直线过定点.【详解】（1）设动圆P的半径为r，因为动圆P与圆M外切，所以，因为动圆P与圆N内切，所以，则，由椭圆定义可知，曲线C是以为左、右焦点，长轴长为8的椭圆，设椭圆方程为，则，，故，所以曲线C的方程为.（2）①当直线l斜率存在时，设直线，，联立，得，设点，则，，所以，即，得.则，因为，所以.即，直线，所以直线l过定点.②当直线l斜率不存在时，设直线，且，则点，解得，所以直线也过定点.综上所述，直线l过定点.【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，椭圆的定义，求椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中直线过定点问题，属于中档题.21.已知函数. 求的最小值.若.求证：存在唯一的极大值点，且【答案】；证明见解析.【解析】【分析】求出导函数，结合导函数值的正负研究函数的单调性进而可得结论；通过可知，记，利用函数存在唯一的极大值点，得出，另一方面可知.【详解】解： ，，.当时，，即函数在上单调递减；当时，，即函数在上单调递增..由知， 设，则 当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增. 又，，，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，，当时，. 因为，所以是的唯一极大值点 .由得，故 .由得 ，由，可知，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.综上所述，存在唯一的极大值点，且.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，转化思想，属于难题.选做题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C极坐标方程；（2）若直线l1，l2的极坐标方程分别为，，设直线l1，l2与曲线C的交点分别为O，M和O，N，求△OMN的面积．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将曲线C的参数方程化为直角坐标方程，进而化为极坐标方程即可；（2）将直线l1，l2的极坐标方程分别与曲线C的极坐标方程联立，可求得的极坐标，进而可求得△OMN的面积.【详解】（1）由参数方程，可得普通方程为，由，，可得，所以曲线C的极坐标方程为.（2）由直线l1：与曲线C交点为O，M，得.由直线l2：与曲线C的交点为O，N，得.易知，所以.【点睛】本题考查圆的参数方程、圆的极坐标方程，考查三角形面积公式的应用，考查学生计算求解能力，属于基础题.23.己知函数.（1）求不等式的解集；（2）若，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)分段讨论去绝对值可解得 ;(2)根据绝对值三角不等式可证.【详解】（1）解：，当时，由，得，解得.当时，由，得，此时无解.当时，由，得，解得.综上所述，的解集为.（2）证明：，.【点睛】本题考查了分类讨论去绝对值解绝对值不等式,考查了绝对值三角不等式,属于基础题.