宁夏石嘴山市第三中学2020届高三高考第五次模拟考试数学（文）试题
展开石嘴山三中2020届第五次模拟考试
（文科）数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则集合中元素的个数为
A.2 B.3 C.4 D.5
2．若复数为纯虚数，则
A． B． C． D．
3．已知向量 ， ，若 ，则实数
A. B. 1 C. 2 D.
4．网络是一种先进的高频传输技术，我国的技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款手机，现调查得到该款手机上市时间和市场占有率（单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出关于的线性回归方程为.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）
A．2020年6月 B．2020年7月 C．2020年8月 D．2020年9月
5．若双曲线的离心率为3，则其渐近线方程为
A. B. C. D.
6．已知等比数列的各项都为正数，且，，成等差数列，则的值是
A． B． C． D．
7.已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值是
A． B． C． D．
8．函数在区间上的大致图像为
A． B．
C． D．
9.2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为“国际数学日”，2020年3月14日是第一个“国际数学日”圆周率是圆的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数．有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式，即为正整数平方的倒数相加等．小红设计了如图所示的程序框图，要求输出的值与非常近似，则①、②中分别填入的可以是
A. B.
C. D.
10．定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，则使成立的的取值范围是
A． B． C． D．
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为
A． B． C． D．
12．如图，在边长为4的正三角形中，为边的中点，过作于．把沿翻折至的位置，连结．翻折过程中，有下列三个结论：
①；②存在某个位置，使；
③若，则的长是定值．其中所有正确结论的编号是
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.设数列满足，，则__________．
14.已知函数，则=________．
15．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为________．
16．已知直线与圆相交于两点（为圆心），且为等腰直角三角形，则实数的值为________.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
在中，.
(1) 求的值；
(2) 若，求的面积.
18．（本小题满分12分）
已知正三棱柱中，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
19 （本小题满分12分）
为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图单位：厘米，设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．
（1） 求出易倒伏玉米茎高的中位数m；
（2） 根据茎叶图的数据，完成下面的列联表：
| 抗倒伏 | 易倒伏 |
矮茎 |
|
|
高茎 |
|
|
(3) 根据(2)中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1％的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？
附：，
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
K | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
20.（本小题满分12分）
已知是抛物线：的焦点，点在抛物线上，且．
(1) 求抛物线的标准方程；
(2) 若是抛物线上的两个动点，且，为坐标原点，
求证：直线过定点．
21.（本小题满分12分）
已知函数．
（1） 讨论函数的单调性；
（2） 若函数图象过点，求证：．
请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为.
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点作倾斜角为的直线l与圆交于两点，试求的值．
23.[选修4—5：不等式选讲]
设函数.
（1）若，解不等式；
（2）若函数有最小值，求实数的取值范围.
石嘴山三中2020届第五次模拟考试
（文科）数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
题目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | A | B | C | B | A | C | C | B | D | D | B |
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分.)
13. ________ 14. ___________
15. ____ ___． 16.
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17．（本小题满分12分）
在中，.
(4) 求的值；
(5) 若，求的面积.
17.答案：(1)在中，因为，，
所以由正弦定理得.
(2)因为，所以.
由余弦定理
得，得或（舍）.
的面积
19．（本小题满分12分）
已知正三棱柱中，，是的中点.
（1) 求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
【详解】证明：（1）连结，设，再连接,如图，
则是的中点，是的中位线，所以∥，
又因为平面，平面，所以∥平面
（2）过点作，垂足为，如图，
在正三棱柱中，平面，∴，又∵，
∴平面，，
∴.
19 （本小题满分12分）
为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图单位：厘米，设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．
（1） 求出易倒伏玉米茎高的中位数m；
（2） 根据茎叶图的数据，完成下面的列联表：
| 抗倒伏 | 易倒伏 |
矮茎 |
|
|
高茎 |
|
|
(6) 根据(2)中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1％的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？
附：，
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
K | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
【答案】解：；
| 抗倒伏 | 易倒伏 |
矮茎 | 15 | 4 |
高茎 | 10 | 16 |
由于，
因此可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．
【解析】根据茎叶图可求易倒伏玉米茎高的中位数；
根据茎叶图的数据，即可完成列联表：
计算K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论．
本题主要考查了中位数的求法，考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
20.已知是抛物线：的焦点，点在抛物线上，且．
(1) 求抛物线的标准方程；
(2) 若是抛物线上的两个动点，且，为坐标原点，
求证：直线过定点．
【答案】Ⅰ由题意得，，解得，
因为点在抛物线C上，
则，解得，
又，所以，
即得抛物线C的标准方程为．
Ⅱ设，，
因为，所以，
即得，
因为点A、B在抛物线C上，
所以，，代入得，
因为，则，
设直线AB的方程为，联立
得，，
则，所以，满足，
所以直线AB的方程为，过定点．
21.已知函数．
（1） 讨论函数的单调性；
（2） 若函数图象过点，求证：．
【答案】解：Ⅰ函数的定义域为，．
当时，，在上单调递增；
当时，由，得．
若，，单调递增；
若，，单调递减
综合上述：当时，在上单调递增；
当时，在单调递增，在上单调递减．
Ⅱ证明：函数图象过点，
，解得．
即，
令，
．
令，，
函数在上单调递增，
存在，使得，可得，．
．
成立．
请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为.
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点作倾斜角为的直线l与圆交于两点，试求的值．
22.答案：（1）将曲线的极坐标方程，化为直角坐标方程为：；
（2）直线l的参数方程为：（t为参数），将其带入上述方程中得：，则，所以
23.[选修4—5：不等式选讲]
设函数.
（1）若，解不等式；
（2）若函数有最小值，求实数的取值范围.
23．（10分）
23.答案：(1) 时，
综上，得
综上，原不等式的解集为
(2)
函数有最小值，则
