山东省滨州阳信国际学校2020届高三第五次模拟考试数学试卷

数学试题

本试卷共6页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看讲解试题的视频。

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知复数z满足

A.   B.2    C.    D.8

2.已知集合，则

A.  B.  C.   D.

3.已知集合则

A.  B.  C.   D.

4.的展开式中，的系数为

A.2    B.   C.3     D.

5.函数的图象关于y轴对称，则函数的部分图象大致为

6．在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到sin3°的近似值为(取近似值3.14)

A.0.012      B.0.052

C.0.125      D.0.235

7.已知函数，若等差数列的前项和为，且

A.     B.0

C.2020      D.4040

8.在四面体，二面角的平面角为150°，则四面体ABCD外接球的表面积为

A.      B.

C.      D.

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．在疫情防控阻击战之外，另一条战线也日渐清晰——恢

复经济正常运行．国人万众一心，众志成城，防控疫情、复

工复产，某企业对本企业1644名职工关于复工的态度进行

调查，调查结果如图所示，则下列说法正确的是

A．

B．从该企业中任取一名职工，该职工是倾向于在家办公的概率

为0.178

C．不到80名职工倾向于继续申请休假

D．倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986名

10.已知向量，下列说法正确的是

A.    B.向量方向上的投影为

C.      D.的最大值为2

11.已知椭圆的右焦点为F，点P在椭圆C上，点Q在圆上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若的最小值为，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则下列说法正确的是

A.椭圆C的焦距为2     B.椭圆C的短轴长为

C.的最小值为   D.过点F的圆E的切线斜率为

12.已知函数，则下列结论中，正确的有

A.是的最小正周期

B.在上单调递增

C.的图象的对称轴为直线

D.的值域为

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.若曲线处的切线与直线平行，则_________.

14.已知圆锥的顶点为S，顶点S在底面的射影为O，轴截面SAB是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为__________，点D为母线SB的中点，点C为弧AB的中点，则异面直线CD与OS所成角的正切值为________.

15．CES是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会．2020CES消费电子展于2020年1月7日—10日在美国拉斯维加斯举办．在这次CES消费电子展上，我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳了全场．若该公司从7名员工中选出3名员工负责接待工作(这3名员工的工作视为相同的工作)，再选出2名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能，若其中甲和乙至多有1人负责接待工作，则不同的安排方案共有__________种．

16．已知点分别为双曲线的左、右焦点，点A，B在C的右支上，且点恰好为的外心，若，则C的离心率为__________．

四、解答题(本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)

在①；②；③

，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为．且满足_________．

(1)求sinC；

(2)已知的外接圆半径为，求△ABC的边AB上的高．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．(本小题满分12分)

已知数列的前项和为，且.

(1)求证：数列为等比数列；

(2)设，求数列的项和．

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，为斜边的等腰直角三角形，且平面平面ABCD，点F满足，.

（1）试探究为何值时，CE//平面BDF，并给予证明；

（2）在（1）的条件下，求直线AB与平面BDF所成角的正弦值.

20.（本小题满分12分）

已知点，点P在直线上运动，请点Q满足，记点Q的为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）设，过点D的直线交曲线C于A，B两个不同的点，求证，.

21.（本小题满分12分）

已知函数，证明.

（1）存在唯一的极小值点；

（2）的极小值点为.

22．(本小题满分12分)

十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫．某县积极引导农民种植一种名贵中药材，从而大大提升了该县村民的经济收入．2019年年底，该机构从该县种植的这种名贵药材的农户中随机抽取了100户，统计了他们2019年因种植，中药材所获纯利润(单位：万元)的情况(假定农户因种植中药材这一项一年最多获利11万元)，统计结果如下表所示：

(1)由表可以认为，该县农户种植中药材所获纯利润Z(单位：万元)近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数 (每组数据取区间的中点值)，近似为样本方差．若该县有1万户农户种植了该中药材，试估算所获纯利润Z在区间(1.9，8.2)的户数；

(2)为答谢广大农户的积极参与，该调查机构针对参与调查的农户举行了抽奖活动，抽奖规则如下：在一箱子中放置5个除颜色外完全相同的小球，其中红球1个，黑球4个．让农户从箱子中随机取出一个小球，若取到红球，则抽奖结束；若取到黑球，则将黑球放回箱中，让他继续取球，直到取到红球为止(取球次数不超过10次)．若农户取到红球，则视为中奖，获得2000元的奖励，若一直未取到红球，则视为不中奖．现农户张明参加了抽奖活动，记他中奖时取球的次数为随机变量X，他取球的次数为随机变量Y．

(i)证明：为等比数列；

(ii)求Y的数学期望．(精确到0.001)

参考数据：．若随机变量

.

数学试题参考答案

一、单项选择题：

二、多项选择题：

三、填空题：

13.     14.     15.360     16.  

四、解答题：

17.解：选择条件①：

（1）因为，

所以由正弦定理得，

即，

故.                            （3分）

又，

所以.

由.

所以.                                 （5分）

（2）由正弦定理得，                 （6分）

由余弦定理得，

所以.                        （8分）

于是得的面积，

所以.                                      （10分）

选择条件②：

（1）因为，

由正弦定理得，

即，

于是.                                           （3分）

在，

所以，

.                                             （5分）

（2）由正弦定理得，                           （6分）

由余弦定理得

，

所以，                                （8分）

于是得的面积，

所以.（10分）

选择条件③：

（1）因为，

所以由正弦定理得

，

所以，                                （3分）

因为，

所以，

又，

所以，

所以.                                                        （5分）

（2）由正弦定理得，                               （6分）

由余弦定理得，

所以.                                      （8分）

于是得的面积，

所以.                                     （10分）

18.解：（1）因为，①

所以.②

当时，由①—②得，

即，                                               （3分）

所以.

当.                                （4分）

所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.                     （6分）

（2）由（1）知，                                          （7分）

所以.                                            （8分）

所以，③

则，④

由③—④，得，

所以.                                                 （12分）

19.解：（1）当时，CE//平面FBD.                                   （1分）

证明如下：连接AC，交BD于点M，连接MF.

因为AB//CD，

所以AM:MC=AB:CD=2:1

又，

所以FA:EF=2:1.

所以AM:MC=AF:EF=2:1.

所以MF//CE.                                                          （4分）

又平面BDF，平面BDF，

所以CE//平面BDF.                                                     （5分）

（2）取AB的中点O，连接EO，OD.

则.

又因为平面平面ABCD，平面平面平面ABE，

所以平面ABCD,

因为平面ABCD，

所以.

由，及AB=2CD，AB//CD，得，

由OB,OD,OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为为等腰直角三角形，AB=2BC=2CD，

所以OA=OB=OD=OE，

设OB=1，

所以,

.

所以,                                      （7分）

，

所以.

设平面BDF的法向量为，

则有

所以

取.                                                （9分）

设直线AB与平面BDF所成的角为，

则

.

即直线AB与平面BDF所成角的正弦值为.                              （12分）

20.解：（1）设，

由，

得，

所以

即

因为点P在曲线上，

所以.

即，整理得.

所以曲线C的方程为.                                           （5分）

（2）直线AB的斜率不上辈子在时，不符合题意；

当直线AB的斜率存在时，

设直线AB的方程为，

.

由

得，

可知，                                         （7分）

直线AE，BE的斜率之和为

.

故AB,BE的倾斜角互补.

.

.                                                    （2分）

21.解：（1），

设，

则，

当，

所以.

当时，，

综上所述，当恒成立，

故上单调递增.

又，

由零点存在定理可知，函数上存在唯一的零点.

结合单调性可得上单调递减，在上单调递增，

所以函数存在唯一极小值点.                                     （5分）

（2）由（1）知，，

，

而，

所以，

即，

，

故极小值点，

且，

即

由（*）式，得

.

由，

得，

所以，

即.                                                     （12分）

22.解：（1）由题意知：

所以样本平均数为（万元），

所以，

所以，

而.

故1万户农户中，Z落在区间的户数约为.      （4分）

（2）（I）每次取球都恰有的概率取到红球.

则有，

，

故为等比数列.                             （7分）

（II）由（I）可知，当，

.

故Y的数学期望为

设,

则，

两式作差得，

.（12分）