山东省青岛天龙中学2020届高三第一次模拟考试数学试题
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数学
本试卷共4页，分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，，则=（ ）
A. （1，3） B. （1，4） C. （2，3） D. （2，4）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解法，可得集合，然后根据交集的概念，可得结果.
【详解】由
所以，所以
又，所以
故选：C
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，记住口诀“大于取两边，小于取中间”，还考查集合之间的运算，属基础题.
2.若复数满足，其中为虚数为单位，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
因为，所以，，所以，故选A.
考点：复数的概念与运算.
3.要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位
B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位
D. 向右平移个单位
【答案】B
【解析】
因为函数，要得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位．
本题选择B选项.
点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．
4.已知菱形的边长为，，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意得，设，根据向量的平行四边形法则和三角形法则，可知，故选D.
考点：向量的数量积的运算.
5.若“”是真命题，则实数的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】
“”是真命题，即可求出参数的范围.
【详解】“”是真命题,即对任意，恒成立.
所以，又在上单调递增.即
所以，实数的最小值为1
故选：A
【点睛】本题考查根据命题为真求参数，考查恒成立问题，属于基础题.
6.已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】
如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．
考点：外接球表面积和椎体的体积．
7. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．
考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．
8.已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值
范围是（ ）
A. [0,) B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：因为，所以，选A.
考点：导数的几何意义、正切函数的值域.
二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，漏选得3分，错选0分，全选对5分）
9.函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的对称轴心
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据函数图象先求出的表达式，再对选项进行逐一判断，即可得到答案.
【详解】由函数的图象有,则，即，所以，则A正确.
由图象可得，，
所以，即,由，
所以，即,所以B不正确.
所以函数的对称轴为：，即
当时，是函数的一条对称轴，所以C正确.
所以函数的对称中心满足：，即
所以函数的对称轴心为，，所以D正确.
故选：ACD
【点睛】本题考查根据图象求余弦型函数的解析式，考查余弦型函数的对称性等，属于中档题.
10.在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同.从中摸出3个球，下列事件是互斥事件是（ ）
A. 摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件
B. 恰好有一黑球事件和都是黑球事件
C. .至少一个黑球事件和至多一个白球事件
D. 至少一个黑球事件和全是白球事件
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据互斥事件的定义，对选项进行逐一判断是否互斥，得到答案.
【详解】从口袋中摸出3个球，
摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件，不可同时发生，是互斥事件.
恰好有一黑球事件和都是黑球事件, 不可同时发生，是互斥事件.
至少一个黑球事件和至多一个白球事件,若恰好2个黑球和1个白球，则两个事件同时发生，所以不是互斥事件.
至少一个黑球事件和全是白球事件, 不可同时发生，是互斥事件.
故选：ABD
【点睛】本题考查互斥事件的判断，考查互斥事件的定义，属于基础题.
11.下列命题正确的是（ ）
A. 平行于同一直线的两条直线互相平行.
B. 垂直于同一平面的两个平面互相平行.
C. 若直线与同一平面所成的角相等，则互相平行.
D. 若直线垂直于同一平面，则平行.
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一分析，可得答案.
【详解】A. 平行于同一直线的两条直线互相平行. 所以正确.
B. 垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，故不正确.
C. 若直线与同一平面所成的角相等，则互相平行,可能相交，可能异面，所以不正确.
D. 若直线垂直于同一平面，则平行.所以正确.
故选：AD
【点睛】本题考查空间线线、线面、面面的位置关系，属于基础题.
12.已知函数是定义在R上的奇函数，对都有成立，当且时，有.则下列说法正确的是（ ）
A. B. 在上有5个零点
C. D. 直线是函数图象的一条对称
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由可得是以2为周期的周期函数，当且时，有，得函数在上单调递减，根据函数性质对每一个选项进行分析，得出答案.
【详解】对都有成立,则是以2为周期的周期函数.
当且时，有，则在上单调递减.
由函数是定义在R上的奇函数有………①，
又是以2为周期的周期函数，有…………②，
所以①②可得，所以A正确.
由，则，
为奇函数，则，又是以2为周期的周期函数，则.
又在上单调递减且，则时.
由为奇函数，所以则时.
根据是以2为周期的周期函数 ，则时，时
所以在上有，有5个零点,故B正确
由是以2为周期的周期函数有，故C正确.
由上可知，当时，时，则其图象不可能关于对称，故D不正确.
故选：ABC
【点睛】本题考函数的奇偶项、单调性、周期性等函数的基本性质，属于中档题.
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则________．
【答案】
【解析】
试题分析：由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．
考点：二项式定理．
14.已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_____．
【答案】2；
【解析】
【详解】试题分析：由可得，
即，
故填2.
考点：1.向量的运算.2.向量的数量积.
15.已知函数的定义域和值域都是，则 .
【答案】
【解析】
若，则在上为增函数,所以，此方程组无解；
若，则在上为减函数,所以，解得，所以.
考点：指数函数的性质.
16.平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的离心率为_______________
【答案】
【解析】
设所在的直线方程为,则所在的直线方程为,
解方程组得：，所以点的坐标为,
抛物线的焦点的坐标为:.因为是的垂心，所以,
所以，.
所以，.
考点：1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.
17.已知数列的前n项和，其中．
（Ⅰ）证明是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若，求．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）首先利用公式，得到数列的递推公式，即可得到是等比数列及的通项公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ），用表示前项和，结合的值，建立方程可求得的值．
试题解析：（Ⅰ）由题意得，故，，.
由，得，即.由，得，所以.
因此是首项为，公比为的等比数列，于是.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.由得，即.
解得.
【考点】数列的通项与前项和的关系，等比数列的定义、通项公式及前项和.
【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明（常数）；（2）中项法，即证明．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．
18.设.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）单调递增区间是；
单调递减区间是
（Ⅱ）面积的最大值为
【解析】
试题分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；
（Ⅱ）首先由结合（Ⅰ）的结果，确定角A的值，然后结合余弦定理求出三角形面积的最大值.
试题解析：
解：（Ⅰ）由题意知
由可得
由可得
所以函数的单调递增区间是；
单调递减区间
（Ⅱ）由得
由题意知为锐角，所以
由余弦定理：
可得：
即：当且仅当时等号成立
因此
所以面积的最大值为
考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.
19.如图，在三棱台中，分别为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若平面,，
，求平面与平面所成角（锐角）的大小．
【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）思路一：连接，设，连接，先证明，从而由直线与平面平行的判定定理得平面；思路二：先证明平面平面，再由平面与平面平行的定义得到平面.
（Ⅱ）思路一：连接，设，连接，证明两两垂直, 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空量向量的夹角公式求解；思路二：作于点，作于点，连接，证明即为所求的角，然后在三角形中求解.
试题解析：
（Ⅰ）证法一：连接，设，连接，
在三棱台中，
为的中点
可得
所以四边形为平行四边形
则为的中点
又为的中点
所以
又平面平面
所以平面．
证法二：
在三棱台中，
由为的中点
可得
所以四边形为平行四边形
可得
在中，为的中点，为的中点，
所以
又，所以平面平面
因为平面
所以平面
（Ⅱ）解法一：
设，则
在三棱台中，
为的中点
由，
可得四边形为平行四边形，
因此
又平面
所以平面
在中，由，是中点，
所以
因此两两垂直,
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
所以
可得
故
设是平面一个法向量，则
由可得
可得平面的一个法向量
因为是平面的一个法向量，
所以
所以平面与平面所成的解（锐角）的大小为
解法二：
作于点，作于点，连接
由平面，得
又
所以平面
因此
所以即为所求的角
在中,
由∽
可得
从而
由平面平面
得
因此
所以
所以平面与平面所成角（锐角）的大小为.
考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角的求法；3、空间向量在解决立体几何问题中的应用.
20.若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．
(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．
【答案】(1) 125，135，145，235，245，345；(2) .
【解析】
【详解】\（1）个位数是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；
（2）由题意知，全部“三位递增烽”的个数为
随机变量X的取值为：0，-1，1，因此
,,
所以X的分布列为
X | 0 | -1 | 1 |
P |
因此.
21.平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是.以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆，P为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点.求的值；
【答案】（1）（2）
【解析】
分析】
(1)运用椭圆的离心率公式和的关系，可求得，从而得到椭圆方程.
(2) 设点,,求得点的坐标，分别代入椭圆的方程，化简整理，即可得到答案.
【详解】解：（1）以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
设这两圆的交点为,则
所以，则
又，，可得，
所以椭圆的方程为
（2）由（1）知椭圆的方程为
设点，，由题意知
因为，又，
即，所以，即.
【点睛】本题考查椭圆方程和性质，考查点在椭圆上的应用，属于中档题.
22.已知函数
（1）求的单调区间；
（2）若在上存在一点，使得成立，求a的取值范围.
【答案】（1）当时，函数在上单调递增.当时，函数在上单调递增,在上单调递减. （2）实数a的取值范围是或.
【解析】
【分析】
(1) ,则分和两种情况结合定义域讨论函数的定义域.
(2) 若在上存在一点，使得成立，即在上有，由（1）中的单调性，得出的最小值，解不等式，得到参数的范围.
【详解】
(1)
当即时，在上，所以函数在上单调递增.
当即时，在上，在上
所以函数在上单调递增,在上单调递减.
（2）若在上存在一点，使得成立，即，.
①由（1）可知，当时，函数在上单调递增，
，即
②时，函数在上单调递减，在上单调递增.
当即时，函数在上单调递减，
，即.
因为，所以.
当即时，函数在上单调递增，
，即（舍）
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递减.
此时，则，所以
即，所以无解.
综上所以：实数a的取值范围是或.
【点睛】本题考查含参数的单调性的讨论，考查不等式能成立问题，属于中档题.
