山东省实验中学2020届高三6月模拟考试数学试题

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山东省实验中学2020届高三模拟考试

数 学 试 题

2020．06

注意事项：

1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码．

2．本试卷满分150分，分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第6页．

3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

4．非选择题的作答：用0．5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

第Ⅰ卷(共60分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A={x｜x=2k，k∈Z)，B={x∈N｜x＜4)，那么集合A∩B=

A．(1，4)   B．{2}   C．{1，2}   D．{1，2，4}

2．若z(2－i)2=－i(i是虚数单位)，则复数z的模为

A．    B．   C．    D．

3．已知，则cos2α==

A．0    B．1   C．    D．

4．已知平面向量a，b满足(a+b)·b=2，且，，则

A．    B．   C．1    D．

5．己知是定义域为R的奇函数，若为偶函数，f(1)=1，则f(2019)+f(2020)=

A．－2    B．－1   C．0    D．1

6．已知点F1(－3，0)，F2(3，0)分别是双曲线C： (a＞0，b＞0)的左、右焦点，M是C右支上的一点，MF1与y轴交于点P，△MPF2的内切圆在边PF2上的切点为Q，若，则C的离心率为

A．    B．3    C．    D．

7．在二项式的展开式中，各项系数的和为128，把展开式中各项重新排列，则有理项都互不相邻的概率为

A．    B．    C．    D．

8．已知函数f(x)=ax2－x－lnx有两个零点，则实数a的取值范围是

A．(，1)   B．(0，1)   C．(－∞，)  D．(0，)

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．CPI是居民消费价格指数的简称，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标．同比一般情况下是今年第n月与去年第n月比；环比，表示连续2个统计周期(比如连续两月)内的量的变化比．如图是根据国家统计局发布的2019年4月—2020年4月我国CPI涨跌幅数据绘制的折线图，根据该折线图，则下列说法正确的是

A．2020年1月CPI同比涨幅最大

B．2019年4月与同年12月相比较，4月CPI环比更大

C．2019年7月至12月，CPI一直增长

D．2020年1月至4月CPI只跌不涨

10．记数列{an}的前n项和为Sn，若存在实数H，使得对任意的n∈N+，都有＜H，则称数列{an}为“和有界数列”．下列说法正确的是

A．若{an}是等差数列，且公差d=0，则{an}是“和有界数列”

B．若{an}是等差数列，且{an}是“和有界数列”，则公差d=0

C．若{an}是等比数列，且公比＜l，则{an}是“和有界数列”

D．若{an}是等比数列，且{an}是“和有界数列”，则{an}的公比＜l

11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”．如图在堑堵ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，且AA1=AB=2．下列说法正确的是

A．四棱锥B－A1ACC1为“阳马”

B．四面体A1C1CB为“鳖膈”

C．四棱锥B－A1ACC1体积最大为

D．过A点分别作AE⊥A1B于点E，AF⊥A1C于点F，则EF⊥A1B

12．已知，下面结论正确的是

A．若f(x1)=1，f(x2)=－1，且的最小值为π，则ω=2

B．存在ω∈(1，3)，使得f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称

C．若f(x)在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围是

D．若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围是(0，]

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．以抛物线y2=2x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______________．

14．我国有“三山五岳”之说，其中五岳是指：东岳泰山，南岳衡山，西岳华山，北岳恒山，中岳嵩山．某位老师在课堂中拿出这五岳的图片，打乱顺序后在图片上标出数字1—5，他让甲、乙、丙、丁、戊这五位学生来辨别，每人说出两个，学生回答如下：

甲：2是泰山，3是华山；

乙：4是衡山，2是嵩山；

丙：1是衡山，5是恒山；

丁：4是恒山，3是嵩山；

戊：2是华山，5是泰山．

老师提示这五个学生都只说对了一半，那么五岳之尊泰山图片上标的数字是__________．

15．己知函数f(x)= ，若0＜a＜b，且f(a)=f(b)，则a+4b的取值范围是____________．

16．已知水平地面上有一半径为4的球，球心为O＇，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C．如图椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，OE=3．若光线与地面所成角为θ，则sinθ=__________________，椭圆的离心率e=_____________________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(10分)

已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，a=2．设F为线段AC上一点，CF=BF．有

下列条件：①c=2；②b=；③．

请从这三个条件中任选两个，求∠CBF的大小和△ABF的面积．

18．(12分)

已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且S4－a1=－18．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)是否存在正整数n，使得Sn≥2020?若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由．

19．(12分)

四棱锥P－ABCD中，PC⊥面ABCD，直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，PC=2，点M在PB上且PB=4PM．PB与平面PCD所成角为60°．

(1)求证：CM∥面PAD：

(2)求二面角B－MC－A的余弦值．

20．(12分)

某公司为研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．

表中，

(1)根据散点图判断：y=a+bx与y=c+哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程?(只要求给出判断，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(结果精确到0.01)；

(3)若该图书每册的定价为9．22元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于80000元?(假设能够全部售出，结果精确到1)

附：对于一组数据(ω1，v1)，(ω2，v2)，…，(ωn，vn)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

21．(12分)

已知椭圆C： (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2点．M为椭圆上的一动点，△MF1F2面积的最大值为4．过点F2的直线l被椭圆截得的线段为PQ，当l⊥x轴时，

．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点F1作与x轴不重合的直线l，l与椭圆交于A，B两点，点A在直线x=－4上的投影N与点B的连线交x轴于D点，D点的横坐标x0是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由．

22．(12分)

已知函数f(x)=lnx－x+1．

(1)求f(x)的最大值；

(2)设函数g(x)=f(x)+a(x－1)2，若对任意实数b∈(2，3)，当x∈(0，b]时，函数g(x)的最大值为g(b)，求a的取值范围；

(3)若数列{an}的各项均为正数，a1=1，an+1=f(an)+2an+1(n∈N+)．求证：an≤2n－1．

山东省实验中学2020届高三模拟考试

数学试题答案

2020.06

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. ；14.5；15. ；16. （本题题每一空2分，第二空3分）

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.【解析】解析：选①②，则.

由余弦定理可得……………………………………2分

又

所以…………………………………………………………………………4分

在中，由正弦定理

可得，…………………………………………………………………6分

又，………………………………………7分

所以，所以

所以…………………………………………………………10分

选②③，因为，所以.

由余弦定理可得…………………………………………2分

又，所以

所以……………………………………………4分

在中，由正弦定理

可得，…………………………………………………………………6分

又，所以，………………………………………7分

所以，所以

所以…………………………………………………………10分

选①③，由余弦定理可得

，………………………………………………………………2分

因为，

所以……………………………………………………………4分

在中，由正弦定理，

可得，……………………………………………………………………6分

又，…………………………………………7分

所以

所以…………………………………………………………10分

18.【解析】

（1）设等比数列的公比为q，则.

由题意得

即………………………………………………………………2分

解得………………………………………………………………………………4分

故数列的通项公式为.……………………………………………5分

（2）由（1）有.………………………………………6分

假设存在，使得，

即.…………………………………………………………………………7分

当为偶数时，，上式不成立；………………………………………………8分

当为奇数时，，

解得.…………………………………………………………………………………10分

综上，存在符合条件的正整数，最小值为11.…………………………………………12分

19.【解析】

解析：（1）在线段AB上取一点N，使，

因为，所以，

所以为平行四边形，

所以CN//AD，………………………………………2分

在三角形ABP中，，所以MN//AP，

所以平面MNC//平面PAD，又平面MNC，

所以CM//平面PAD…………………………………………………………………………4分

（2）以C为原点，CB，CD，CP所在直线为轴轴轴，

面ABCD，所以，

又因为，所以面，

所以在面PCD的射影为PC，

所以与平面PCD所成角，

所以………………6分

所以，

.

面法向量，……………………………………………………………8分

面法向量

，所以，……………………………………………10分

所以，

所以二面角所成角的余弦值为…………………………………………12分

20.【解析】

（1）由散点图判断，更适合作为该图书每册的成本费y（单位：元）与印刷数量（单位：千册）的回归方程.…………………………………………………………2分

（2）令，先建立y关于u的线性回归方程，

由于，………………………………………………………4分

所以，……………………………………6分

所以y关于u的线性回归方程为，

所以y关于x的回归方程为…………………………………………8分

（3）假设印刷千册，依题意得，…………………10分

解得，

所以至少印刷11120册才能使销售利润不低于80000元.………………………………12分

21.【解析】

（1）由题意：的最大面积……………………2分

又，联立方程可解得，

所以椭圆的方程为…………………………………………………………4分

（2）D的横坐标为定值，理由如下：

已知直线斜率不为零，，

得，…………………………5分

设均不为零

①，②，………………………………………………6分

两式相除得③………………………………………………………………7分

的方程，令，

④

………………………………………………………………………………………………10分

将③代入④点的横坐标为定值

………………………………………………………………………………………………12分

22.【解析】

（1）的定义域为，

当单调递增；

当单调递减，

所以…………………………………………………………………3分

（2）由题意

………4分

①当时，函数上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实数，使得当时，函数的最大值为.……………………5分

②当时，令，

（i）当时，函数在上单调递增，显然符合题意.

（ii）当时，函数上单调递增，在上单调递减，处取得极大值，且，

要使对任意实数时，函数的最大值为，只需，解得，所以此时实数的取值范围是.

（iii）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，要对任意实数时，函数的最大值为代入化简和，①

令，

因为恒成立，

故恒有，所以时，①式恒成立，

综上，实数的取值范围是.………………………………………………8分

（3）由题意，正项数列满足：

由（1）知：，即有不等式

由已知条件知

故……………………………………………………………………10分

从而当

所以有也成立，

所以有……………………………………………………………12分