山东省泰安市2020届高三6月全真模拟（三模）数学试题
展开2020年高考全真模拟题
数 学
考生注意：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合
A. B. C. D.
2.设复数满足，则z的虚部为
A. B. C. D.
3.已知函数，则函数的定义域为
A. B.
C. D.
4.已知抛物线的准线恰好与圆相切，则
A.3 B.4 C.5 D.6
5.设p：实数满足，q：实数满足，则p是q的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为2的正方形，上棱，EF//平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，该刍甍的体积为
A.6 B. C. D.12
7.函数的图象大致为
8.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为是C上位于第一象限内的一点，且直线轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为N，若，则双曲线C的离心率为
A. B. C.2 D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.已知向量，则
A. B. C. D.
10.某院校教师情况如下表所示
关于2016年、2017年、2018年这3年该院校的教师情况，下面说法正确的是
A.2017年男教师最多
B.该校教师最多的是2018年
C.2017年中年男教师比2016年多80人
D.2016年到2018年，该校青年年龄段的男教师人数增长率为220%
11.若，则
A. B.
C. D.
12.已知函数，则下列结论正确的是
A.是周期函数 B.的图象是轴对称图形
C.的图象关于点对称 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知直线是曲线的一条切线，则▲.
14.已知▲.
15.甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若每个同学可以自由选择，则不同的选择种数是▲；若甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是▲.（用数字作答）（本题第一空2分，第二空3分）
16.已知球O是正三棱锥的外接球，，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是▲.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.
设等差数列的前项和为，数列为等比数列，_________，.
求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（12分）
的内角A,B,C所对的边分别为，已知
.
（1）求角C.
（2）设D为边AB的中点，的面积为2，求的最小值.
19.（12分）
在四棱锥为等边三角形，四边形ABCD为矩形，E为PB的中点，.
（1）证明：平面平面PAB.
（2）设二面角的大小为，求的取值范围.
20．(12分)
某水果批发商经销某种水果(以下简称A水果)，购入价为300元/袋，并以360元／袋的价格售出，若前8小时内所购进的A水果没有售完，则批发商将没售完的A水果以220元／袋的价格低价处理完毕(根据经验，2小时内完全能够把A水果低价处理完，且当天不再购进)．该水果批发商根据往年的销量，统计了100天A水果在每天的前8小时内的销售量，制成如下频数分布条形图．
现以记录的100天的A水果在每天的前8小时内的销售量的频率作为A水果在一天的前8小时内的销售量的概率，记X表示A水果一天前8小时内的销售量，n表示水果批发商一天批发A水果的袋数．
(1)求X的分布列；
(2)以日利润的期望值为决策依据，在中选其一，应选用哪个?
21．(12分)
已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原原点，点O到直线AB的距离为，的面积为1．
(1)求榷圆的标准方程；
(2)直线与椭圆交于C，D两点，若直线直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为证明：为定值．
22．(12分)
已知函数有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设是的两个零点，证明：．
2020年高考全真模拟题
数学参考答案
1.B【解析】本题考查集合交集运算，考查运算求解能力.
因为.
2.C【解析】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力.
，则的虚部为.
3.D【解析】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力.
令，解得有意义，则即
.
4.C【解析】本题考查抛物线的标准方程及直线与圆的位置关系，考查数形结合的思想.
抛物线的准线方程为则.
5.A【解析】本题考查充分必要条件，不等式的解法，考查运算求解能力，逻辑推理能力.
设
，因为，所以，所以的充分不必要条件.
6.B【解析】本题考查空间几何体的体积，考查空间想象能力和运算求解能力.
如图，作FN//AE，FM//ED，则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，则该刍甍的体积为
.
7.A【解析】本题考查函数图象的应用，考查逻辑推理能力.
由，所以是奇函数，排除B,D；由
，可知，结合图象可知选A.
8.D【解析】本题考查双曲线的定义以及内切圆的应用，考查数形结合的思想以及转化与化归的思想.
设的内切圆在边的切点分别为E,G，则
.又，则，由对称性可知，化简可得，则，所以双曲线C的离心率为.
9.BD【解析】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力.
.设，则，则所以所以.
10.BCD【解析】本题考查统计知识，考查数据处理能力.
由题意知，2018年的男教师最多，A错误；将表中各年度人数横向求和可知，2018年共有1720人，为人数最多的一年，B正确；2017年中年男教师比2016年多（人），故C项正确；2016~2018青年男教师增加了220人，增长率为，故D正确.
11.ACD【解析】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解的能力.
由题意，当
当时，，
当时，，
所以，
，
当
所以.
12.AB【解析】
由于，所以是周期函数，故A正确；
由，从而为偶函数，其图象关于对称，故B正确；
由于从而当为奇数时，的图象不一定关于点对称，故C不正确；
当，则此时，故D不正确.
13.4【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力.
设，切点为，因为，所以
.
14.【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解的能力.
由
，所以.
15.243；30【解析】本题考查排列组合的应用，考查逻辑推理能力.
若每个同学可以自由选择，由乘法原理可得，不同的选择种数是；
因为甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案.
当分配方案为2、2、1时，共有种；
当分配方案为3、1、1时，共有种；
所以不同的选择和数是.
16.【解析】本题考查空间几何体的外接球，考查空间想象能力.
设三棱锥的外接球半径为R，正三角形ABC的外接圆圆心为，则，解得，因为过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，所以当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值.在.在中，，所以，所以截面面积.
17.解：选①
当，……………………………………………………………………1分
当，………………………………………………………2分
又满足，所以.……………………………………………………4分
设的公比为q，又因为，…………………5分
得，所以.……………………………………………………………6分
由数列的前n项和为，…………………………………………7分
可知，………………………………………………8分
数列的前项和为，…………………9分
故.……………………………………………10分
选②
设公差为，由……………………2分
解得所以.…………………………………………………4分
设的公比为q，又因为，……………………5分
得，所以.……………………………………………………………6分
由数列的前项和为，…………………………………………7分
可知，………………………………………………8分
数列的前项和为，…………………9分
故.……………………………………………10分
选③
由，………………………2分
，……………………………………………………3分
所以.…………………………………………………………………4分
设的公比为q，又因为，……………………5分
得.……………………………………………………………6分
由数列的前项和为，…………………………………………7分
可知，………………………………………………8分
数列的前n项和为，…………………9分
故.……………………………………………10分
18.解：（1）由已知可得故，…2分
得，………………………………………………………………………3分
所以.……………………………………………5分
（2）由.…………………………7分
由，……………………9分
则，当且仅当时取等号，所以的最小值为.…………………………………………12分
19.（1）证明：连接AE，因为为等边三角形，所以，……………1分
又平面ADE，…………………………………2分
所以.……………………………………………………………………………3分
因为四边形ABCD为矩形，所以，
所以平面PAB.………………………………………………………………………4分
因为平面ABCD，所以平面平面PAB.…………………………………5分
（2）解：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，
则,
由空间向量的坐标运算可得
.
……………………………………………6分
设平面BPC的法向量为，
则代入可得
令，所以.……………………………7分
设平面PAC的法向量为
则代入可得
令，所以.……………………………8分
二面角的大小为，由图可知，二面角为锐二面角，
所以
，……………………………………………………………………10分
所以.…………………………………………………………………………12分
20.解：（1）由题意知A水果在每天的前8小时内的销售量为14，15，16，17的频率分别是0.2，0.3，0.4和0.1，………………………………………………………………2分
所以X的分布列为
………………………………………………………………………………………………4分
（2）当时，设Y为水果批发商的日利润，则Y的可能取值为760，900，…5分
，
，……………………………………………………7分
当时，设Z为水果批发商的日利润，则Z的可能取值为680，820，960，…8分
，
.………………………………………10分
综上可知，当时的日利润期望值大于时的日利润期望值，故选.…12分
21.解：（1）直线AB的方程为，即，……………………1分
则.………………………………………………………………………2分
因为三角形OAB的面积为1，所以，……………………………3分
解得，…………………………………………………………………………4分
所以椭圆的标准方程为.………………………………………………………5分
（2）直线AB的斜率为，设直线的方程为，……6分
代入，……………………………………………7分
则，………………………………………………………………8分
所以，…………………………………………………9分
所以
，……11分
所以为定值.……………………………………………………………………12分
22.解：（1）由题意，可得，转化为函数与直线上有两个不同交点.…………………………………………………………………………1分
，故当时，；当，时，.
故在上单调递增，在上单调递减，
所以.…………………………………………………………………3分
又，故当时，；当时，.
可得.………………………………………………………………………………5分
（2），
由（1）知是的两个根，
故.……………………………7分
要证，只需证，即证，
即证，……………………………………………………………8分
即证，即证.…………………………………………9分
不妨设，
令，………11分
则上单调递增，则，故式成立，即要证不等式得证.
………………………………………………………………………………………………12分
