山西省大同市第一中学2020届高三2月模拟（三）数学（理）试题

2020 届高三年级数学（理）模拟试卷三


一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题）
1．若集合 A = {-1, 0, 1 ,1, 2}，集合 B = {y | y = 2x , x Î A} ，则集合 A I B = （ ）
2


A {- 1 1 1


{-1, 0,1}

． 1, ,1, 2}
2
B．{0, 2 ,1} C．{2 ,1, 2} D．



2．已知复数 z =
2i (1- i)3

，则 z 在复平面内对应点所在象限为（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量a = ( 3, 3) 在向量b = (m,1) 方向上的投影为 3，则a 与b 的夹角为
( )
A． 30o B． 60o C． 30o 或150o D． 60o 或120o

4．设a- l - b是直二面角，直线a 在平面a内，直线b 在平面b内，且a 、b 与
l 均不垂直，则（ ）
A． a 与b 可能垂直，但不可能平行 B． a 与b 可能垂直，也可能平行
C． a 与b 不可能垂直，但可能平行 D． a 与b 不可能垂直，也不可能平行
1- x2
-1
5．求ò1 ( + x cos x)dx 的值为（ ）

A． p B． p+1
C．p D．p+1

2 2
6．已知： p : - 1 < a < 1， q : "x Î[-1,1]， x2 - ax - 2 < 0, 则 p 是q成立的（ ）
2
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充分必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
7．如图所示，分别以正方形 ABCD 两邻边 AB、AD 为直径向正方形内做两个半圆，交于点 O．若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为



A． 3p- 2
B． p C． p+ 2
D． 6 -p

8 8 8 8



8．在数列{an }中， a1 = 0 ， an - an-1 + 5 = 2(n + 2)(n Î N*, n ³ 2)，若数列{bn }满

足b = n a +1( 8 )n ，则数列{b }的最大项为( )

n n+1 11 n
A．第 5 项 B．第 6 项 C．第 7 项 D．第 8 项
9．已知函数 f (x) = 3 sin wx + cos wx (w > 0) 在区间é-p pù 上恰有一个最大值点
,

êë
和一个最小值点，则实数w的取值范围是（ ）
4 3 úû

ø
A． é8 , 7 ö


B． é8 , 4 ö


C． é4, 20 ö


D． æ 20 , 7 ö



êë 3 ÷
ê 3 ÷
ê 3 ÷
ç 3 ÷


ë ø
ë ø
è ø
10．抛物 的准线与 轴交于点 ，焦点为 ，点 是抛物线 上的任意一
点，，当 取得最大值时，直线 的斜率是 （ ）
A． B． C． D．
11．已知在 R 上的函数 f (x )满足如下条件：①函数 f (x )的图象关于 y 轴对称；
②对于任意 x Î R ， f (2 + x)- f (2 - x) = 0 ；③当 x Î[0, 2]时， f (x) = x ；④函数

f(n) (x) =
f (2n-1 × x)， n Î N * ，若过点(-1, 0)的直线l 与函数 f(4) (x)的图象在

x Î[0, 2]上恰有 8 个交点，则直线l 斜率k 的取值范围是( )


A． æ 0, 8 ö


B． æ 0, 11 ö


C． æ 0, 8 ö


D． æ 0, 19 ö



ç 11 ÷
ç 8 ÷
ç 19 ÷
ç 8 ÷

è ø è ø è ø è ø

12．已知 A(x1, y1 )、B (x2 , y2
)是函数 f (x) = ln x 与 g (x) =
x
k 图象的两个不同的交
x2

点，则 f (x1 + x2 )的取值范围是( )


æ e 2
ö æ e
2 1 ö
æ 1 ö
æ e 2 ö

2
e
ø
è
A． ln , +¥ ÷ B． ç


ln , ÷


C． ç 0， ÷
D． ç ln , 0÷



ç è 2
e e ø
è e ø
è 2 e ø

二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题）
—
13．已知函数 f (x) = lg (mx2 - mx - m + 3)的定义域为 R ，则实数m 的取值范围为

14．计算： 2 sin 50° - 3 sin 20° =

cos 20°
15．若DABC 的三边长a ，b ， c 满足b + 2c £ 3a， c + 2a £ 3b，则 b
a
.


的取值范围为

í f (4e - x), 2e < x < 4e
16．已知 f (x) = ìln x, 0 < x £ 2e
î
则实数m 的取值范围是
，若方程 f (x) - mx = 0 有 2 个不同的实根，



三、解答题
x2 - 2ax + 3
17．已知函数 p : f (x) =

的值域是[0, +¥) ， q :关于a 的不等式


a2 - (2m - 5)a + m(m - 5) > 0 ，若Øp 是Øq 充分不必要条件，求实数m 的取值范围。
（12 分）




4 3
3
18．如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为
的菱形，


ÐBCD = 60° ， AC 与 BD 交于点O ，平面 FBC ^ 平面 ABCD ， EF / / AB ，

2 3
3
FB = FC ， EF = .（1）求证：OE ^ 平面 ABCD ；（2）若DFBC 为等边三角形，点Q为 AE 的中点，求二面角Q - BC - A 的余弦值.（12 分）










19．某游戏棋盘上标有第0 、1、2 、L 、100站，棋子开始位于第0 站，选手抛掷均匀硬币进行游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现
在第n 站的概率为 Pn .（12 分）
（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3 次后，求棋子所走站数之和 X 的分布列与数学期望；

（2）证明： P - P = - 1 (P - P

)(1 £ n £ 98)；

n+1 n
2 n n-1

（3）若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平.


20．在平面直角坐标系 xOy 中，对于直线l : ax + by + c = 0 和点 P1 (x1 , y1 )、
P2 (x2 , y2 )，记h= (ax1 + by1 + c )(ax2 + by2 + c )，若h< 0 ，则称点 P1 , P2 被直线 l
分隔，若曲线 C 与直线 l 没有公共点，且曲线 C 上存在点 P1 , P2 被直线 l 分隔， 则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线.（12 分）
（1）求证：点 A(1, 2) 、 B(-1, 0) 被直线 x + y -1 = 0 分隔；

（2）若直线 y = kx 是曲线 x2 - 4 y2 = 1的分隔线，求实数k 的取值范围；

（3）动点 M 到点Q(0, 2) 的距离与到 y 轴的距离之积为 1，设点 M 的轨迹为 E， 求 E 的方程，并证明 y 轴为曲线 E 的分隔线.
21．已知函数 f (x) = 1 ax2 - x + 2a2 ln x(a ¹ 0)（12 分）
2
（1）讨论 f (x) 的单调性.


（2）若 f (x) 存在两个极值点 x ， x ，证明：
f (x1 ) - f (x2 ) £ 1 + 1 .


1 2 x - x x x
1 2 1 2


ìx = -1+ t cosa,
î
22．在直角坐标系中，直线l 的参数方程为í y = 1+ t sina （t 为参数，0 0，即(a - m)éëa - (m - 5)ùû > 0 ，解得 a < m - 5 或a > m ，所以，命题 q : a < m - 5或 a > m .

则 Ø p : - < a
0) ， D = 1- 8a3
当 a ³ 1 时， D £ 0， p(x) ³ 0 ，则 f ¢(x) ³ 0 ， f (x) 在(0, +¥)上单调递增
2


当0 < a < 1 时， D> 0，
2
p(x)
的零点为 x1 =
2a ， x2 = 2a ，

æ ö æ 1+
1- 8a3 ö

所以 f (x) 在ç 0, 2a
÷ ， ç
2a , +¥÷ 上单调递增

è ø è ø

æ 1-
1- 8a3 1+ 1- 8a3 ö

f (x) 在ç
,
2a 2a
÷ 上单调递减

è ø


p(x)
1- 1- 8a3

当 a < 0 时， D> 0，

æ ö
的零点为 ，
2a
ö

f (x) 在ç 0, 2a ÷ 上单调递增，在ç 2a , +¥÷ 上单调递减.
è ø è ø
（2）证明；由（1）知，当0 < a < 1 时， f (x) 存在两个极值点
2
不妨假设0 < x < x ，则 x + x = 1

1 2 1 2 a

要证 f (x1 ) - f (x2 ) < 1 +

1 ，只需证 f (x ) - f (x
) > (x1 - x2 )(x1 + x2 ) =

x1 - x2


x - x x x 1 2 x x x x
1 2 1 2 1 2 2 1

只需证 1 (x - x )éa (x + x )- 2ù + 2a2 ln x1 = - 1 (x - x


)+ 2a2 ln x1 > x1 - x2



2 1 2 ë 1 2 û
x 2 1 2
x x x

即 证 2a2 ln x1 - x1 + x2 > 1 (x - x )，

2 2 2 1

x2 x2 x1
2 1 2


设t = x1 (0 < t < 1) ，设函数 g(t) = 2a 2 ln t - t + 1 ， g¢(t) = - t 2 - 2a2t +1 ，


x2 t t 2

因为 D¢ = 4a4 - 4 < 0 ，所以t2 - 2a2t +1 > 0， g¢(t) < 0 ， 所以 g (t) 在(0,1) 上单调递减，则 g(t) > g(1) = 0

又 1 (x - x

) < 0，则 g(t) > 0 > 1 (x - x

)， 则 2a2 ln x1 - x1 + x2 > 1 (x - x )


2 1 2
从而 f (x1 ) - f (x2 )