江苏省连云港市老六所四星高中2020届高三下学期模拟考试数学试题

高三数学模拟试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合,,则集合中元素的个数为__________.2.复数，则__________.3.已知一组数据4,6,5,8,6,7,那么该组数据的方差为__________.4.根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为__________.
5.的定义域为__________.6．从长度分别为的四条线段中，任取三条的不同取法共有种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为，则等于____________.7．若双曲线的一条渐近线方程为，则_______.8．已知是等差数列的前项和，若，，则______.9. 若关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是________.10. 已知等边三角形的边长为，为边的中点，沿将折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为__________.11. 若，是方程的两个根，则__________.12.设为正实数，则的最小值为__________.13. 已知点，，均位于同一单位圆上，且，若，则的取值范围为__________．14. 已知函数，若有两个零点，则的取值范围__________.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.(本题满分14分）    设函数（1）当时，求的值域；（2）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求面积的最大值.     16. (本题满分14分）    如图，四棱锥中，底面为矩形，，为上一点．（1）求证：平面平面；（2）若∥平面，求证：为的中点．   17. (本题满分14分）    如图，在宽为的路边安装路灯，灯柱高为，灯杆是半径为的圆的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶到路面的距离为，到灯柱所在直线的距离为．设为灯罩轴线与路面的交点，圆心在线段上．（1）当为何值时，点恰好在路面中线上?（2）记圆心在路面上的射影为，且在线段上，求的最大值．    18. (本题满分16分）    如图，椭圆：（）和圆：，已知圆将椭圆的长轴三等分，椭圆右焦点到右准线的距离为，椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点、．（1）求椭圆的方程；（2）若直线、分别与椭圆相交于另一个交点为点、.①求证：直线经过一定点；②试问：是否存在以为圆心，为半径的圆，使得直线和直线都与圆相交？若存在，请求出实数的范围；若不存在，请说明理由．  19. (本题满分16分）    已知函数（a，）.（1）若，且在内有且只有一个零点，求a的值；（2）若，且有三个不同零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；（3）若，，试讨论是否存在，使得.     20. (本题满分16分） 设数列（任意项都不为零）的前项和为，首项为，对于任意，满足.（1）数列的通项公式；（2）是否存在使得成等比数列，且成等差数列？若存在，试求的值；若不存在，请说明理由；（3）设数列，，若由的前项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数的最大值.        高三数学模拟试题附加题21A.已知矩阵，向量.（1）求矩阵的特征值及属于每个特征值的一个特征向量；（2）求.     21B．已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是: （是参数）.若直线与曲线相交于、两点，且，试求实数值.设为曲线上任意一点，求的取值范围.     21C．已知a≥2，x∈R.求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.      22．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上，且，是的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）若点是棱上一点，且，求的值．    23．棋盘上标有第、、、、站，棋子开始位于第站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到调到第站或第站时，游戏结束.设棋子位于第站的概率为.（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币次后，求棋手所走步数之和的分布列与数学期望；（2）证明：；（3）求、的值.      参考答案1.4；  2.1;   3.略   4.7;  5.； 6. ；7. ；8.；  9.或；10.；11. ；12.；13.；14.15. 解：（1）因为所以即，，，所以的值域为；（2）由，得，又，，在中，由余弦定理，得，把，代入得：，当且仅当时取等号，的面积，则面积的最大值为．   16. （1）底面为矩形，，又，，，平面，又，平面平面；（2）连接，交于，连接，平面，平面平面，，，底面为矩形，是的中点，即，，为的中点.17. （1）以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，8），P（2，10），Q（7，0），∴直线PQ的方程为2x+y﹣14＝0．设C（a，b），则，两式相减得：a+b﹣10＝0，又2a+b﹣14＝0，解得a＝4，b＝6，∴．∴当时，点Q恰好在路面中线上．（2）由（1）知a+b﹣10＝0，当a＝2时，灯罩轴线所在直线方程为x＝2，此时HQ＝0．当a≠2时，灯罩轴线所在方程为：y﹣10＝（x﹣2），令y＝0可得x＝12﹣，即Q（12﹣，0），∵H在线段OQ上，∴12﹣≥a，解得2≤a≤10．∴|HQ|＝12﹣﹣a＝12﹣（+a）≤12﹣＝12﹣，当且仅当＝a即a＝时取等号．∴|HQ|的最大值为（12﹣）m．【点睛】本题考查了直线方程，直线与圆的位置关系，考查基本不等式与函数最值的计算，属于中档题．18. Ⅰ ）依题意，，则，∴，又，∴，则，∴椭圆方程为．（2）①由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则：，由得或∴，用去代，得，方法1：，∴：，即，∴直线经过定点．方法2：作直线关于轴的对称直线，此时得到的点、关于轴对称，则与相交于轴，可知定点在轴上，当时，，，此时直线经过轴上的点，∵∴，∴、、三点共线，即直线经过点，综上所述，直线经过定点．②由得或∴，则直线：，设，则，直线：，直线：，假设存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，则由（）得对恒成立，则，由（）得，对恒成立，当时，不合题意；当时，，得，即，∴存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，所有的取值集合为．解法二：圆，由上知过定点，故；又直线过原点，故，从而得．考点：1.直线与圆锥曲线的关系；2.椭圆的标准方程．19. （1）若，则，，若，则在，则，则在上单调递增，又，故在上无零点，舍；若，令，得，，，在上，，在上单调递减，在上，，在上单调递增，故，若，则，在上无零点，舍；若，则，在上恰有一零点，此时；若，则，，，则在和上有各有一个零点，舍；故a的值为.（2）因为，则，若有三个不同零点，且成等差数列，可设，故，则，故，，.此时，，，故存在三个不同的零点.故符合题意的a的值为.（3）若，，，∴若存在，使得，必须在上有解.，方程的两根为：，，只能是，依题意，即，即，又由，得，故欲使满足题意的存在，则，∴当时，存在唯一的满足，当时，不存在使.【点睛】本题考查了函数的零点问题，解方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20.（1）数列是非零数列，.当时，，；当且时，，，是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公差为的等差数列，，，.（2）设存在，满足题意，成等比数列，；成等差数列，，消去可得：，，，，，解得：，，，，，.（3）若是单调递增数列，则为偶数时，恒成立，两边取自然对数化简可得：，显然，设，则，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，当时，是递减数列，又，是的最大值，；设，则，是递减数列，当时，，当时，，当时，存在，使得恒成立；当时，不成立，至多前项是递增数列，即正整数的最大值是.【点睛】本题考查数列与函数导数知识的综合应用问题，涉及到数列通项公式的求解、根据等差数列和等比数列定义求解参数值、根据数列单调性求解参数值等问题；由数列单调性确定参数值的关键是能够将问题转化为恒成立问题，通过构造函数的方式来确定上下限，进而通过讨论得到结果，属于难题. 21A.（1）矩阵的特征多项式为，令，可求得特征值为，，设对应的一个特征向量为，则由，得，可令，则，所以矩阵的一个特征值对应的一个特征向量为，同理可得矩阵的一个特征值对应的一个特征向量为．（2）所以．【点睛】本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．21B． 解：曲线的极坐标方程是化为直角坐标方程为：，直线的直角坐标方程为：.圆心到直线的距离（弦心距）,圆心到直线的距离为 ：,或.曲线的方程可化为，其参数方程为： （为参数）为曲线上任意一点， 的取值范围是.【点睛】本题考查参数方程与极坐标的应用，属于中档题.22．试题解析：（1）以点为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，故∵，∴与所成角的余弦值为．（2）解：设，则，∵，∴，即，∴，又，即，∴，故，，∴ 考点：空间向量求解空间角及在证明线线垂直中的应用.23.（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、.，，，.所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，随机变量的数学期望为；（2）根据题意，棋子要到第站，由两种情况，由第站跳站得到，其概率为 ，也可以由第站跳站得到，其概率为，所以，.等式两边同时减去得；（3）由（2）可得，，.由（2）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，，，又，则，由于若跳到第站时，自动停止游戏，故有.【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式以及等比数列的判定与应用，同时也考查了累加法求数列通项，综合性较强，属于难题.