江苏省南通市2020届高三高考考前模拟卷（九）数学试题含附加题
展开南通市2020届高考考前模拟卷（九）
数 学Ⅰ
（南通数学学科基地命题）
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1. 已知集合A={xex≤1}，B={－2，0，2，4}，则集合A∩B的子集的个数为 ▲ .
2. 某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比为9：8：8，教务处为了解学生“停课不停学”期间在家的网络学习情况，现采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取容量为100的样本进行调查，则应从高三年级抽取 ▲ 名学生.
3. 已知复数z满足(1+i)z＝a+4i（i为虚数单位)，且|z|=2，则实数a = ▲ .
4. 若从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出2个球，则所取2个球颜色相同的概率是 ▲ .
5. 在平面直角坐标系中，抛物线y2=4x的焦点F在双曲线－＝1（a＞0）上，则焦点F到该双曲线的渐近线的距离为 ▲ .
6. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ▲ .
7. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，若函数y=f(x)在区间[m，n]上的值
域为[－1，2]，则n－m的最小值是 ▲ .
8. 已知正六棱柱的侧面积为36cm2，高为3cm，则它的外接球的体积为 ▲ cm3.
9. 已知函数f(x) = x|x|＋3x，若f(a)＋f(a2－2)＜0，则实数a的取值范围为 ▲ .
10. 已知实数x，y满足约束条件，则m＝的最大值是 ▲ .
11. 已知等比数列{an}的公比q=2，且a1・a2・a3・…・a30=1,则a3・a6・a9・…・a30= ▲ .
12. 在平面四边形ABCD中，已知点E，F分別在边AD，BC上，=3，=3，AB=，EF=2，DC=3，则向量与的夹角的余弦值为 ▲ .
13. 若在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3. 在△ABD中，∠ADB＝45°，则CD的取值范围是 ▲ .
14. 已知x>0，y>0，x＋＋(＋y)＝，则x－y的最小值为 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分14分）
在如图所示的空间几何体中，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，M是BC的中点，
DA、EB都垂直于平面ABC.
求证：(1) AM⊥平面EBC;
(2) DA∥平面EBC．
16.（本小题满分14分）
已知 cos(α＋)＝，α∈(0，)．
(1) 求cosα的值;
(2) 若tan(α＋β)＝，β∈(0，)，求β的值．
17.（本小题满分14分）
已知数列{an}是公差不为零的等差数列，且a1=1，a4，a6，a9成等比数列，数列{bn}满
足ibi＝(n－1)2n +1.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 求证：数列{bn}是等比数列；
(3) 若数列{cn}满足cn =，且c m (m∈N*)为整数，求m的值.
18.（本小题满分16分）
如图,某湖有一半径为1百米的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距2百米的点A处安装一套监测设备. 为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分別安装一套监测设备，且满足AB=AC，∠BAC=90°. 定义: 四边形OACB及其内部区城为“直接监测覆盖区域”; OC的长为“最远直接监测距离”设∠AOB=θ.
(1) 求“直接监测覆盖区城”的面积的最大值；
(2) 试确定θ的值，使得“最远直接监测距离”最大.
19.（本小题满分16分）
如图,在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C: ＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右准线的方程为x＝4，A为椭圆C的左顶点，F1、F2分别为椭圆C的左，右焦点.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 过点T(t，0) ( t＞a)作斜率为k(k＜0)的直线l交椭圆C于M，N两点(点M在点N的左侧)，且F1M∥F2N. 若MA＝MT，求t的值.
20.（本小题满分16分）
已知函数f(x)=(x－a)ex＋b (a，b∈R).
(1) 讨论函数f(x)的单调性；
(2) 对给定的a，函数f(x)有零点，求b的取值范围；
(3) 当a＝2，b＝0时，F(x)= f(x)－x+1nx，记y=F(x)在区间(，1)上的最大值为m，且m ∈[n，n+1)，n∈Z，求n的值.
南通市2020届高考考前模拟卷（九）
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵M=，所对应的変换TM将直线l:2x－y=3变换为自身，求实数a,b的值.
B．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知曲线C:ρ=2cosθ，直线l： (t是参数)，且直线l与曲线C交于A，B两点.
(1) 求曲线C的直角坐标方程；
(2) 设定点P(0，－1)，求(PA＋1)(PB＋1)的值.
C．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知x2＋y2＝2，且|x|≠|y|，求＋ 的最小值.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
已知抛物线C: y2=2px(p＞0)
(1) 若抛物线C经过点(1，2)，求抛物线C的方程及其准线方程;
(2) 设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线交抛物线C手M、N两点，直线x=分别交直线OM，ON于点A和点B. 求证: 以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点.
23．（本小题满分10分）
数列{an}的前n项和为Rn记Sn=，数列{bn}满足bi = a1，bn＝＋Sn an (n≥2)，且数列{bn}
的前n项和为Tn.
(1) 请写出Rn，Sn，Tn满足的关系式，并加以证明;
(2) 若数列{an}通项公式为an＝，址明:Tn＜2＋2ln n
南通市2020届高考考前模拟卷（九）
试题Ⅰ参考答案(详细答案见教参)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1、答案：4
2、答案：32
3、答案： 0
4、答案：
5、答案：
6、答案：19
7、答案：
8、答案：
9、答案：（－2 ，1）
10、答案：
11、答案：1024
12、答案：
13、答案：[－,＋]
14、答案：－1
二、解答题（共90分）
15、（本小题满分14分）
（略）
16、（本小题满分14分）
（1）；
（2）β＝.
17、（本小题满分14分）
（1）an ＝n;
（2）m＝1或m＝2；
18、（本小题满分16分）
（1）＋;
（2）2＋1.
19、（本小题满分16分）
（1）＋＝1;
（2）t=3.
20、（本小题满分16分）
（1）x∈（－∞，a－1），函数f（x）单调递减; x∈（a－1，＋∞），函数f（x）单调递减;
（2）当b≤en-1时，函数f（x）有零点；
（3）n=－4.
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
答案：
B．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
答案：(1)（x－1）2＋y2＝1
(2) 3＋
C．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）
答案：当且仅当或时，取等号.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
（1）x＝－1 ;
（2）（－，0）或（，0）.
23．（本小题满分10分）
（1）Tn＝Sn Rn;
（2）（略）.
