江苏省南通市2020届高三下学期阶段性模拟考试 数学
展开江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试
数 学 试 题
2020.05
(总分160分，考试时间120分钟)
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．已知集合，，则 ▲ ．
2．设复数（为虚数单位），则的共轭复数为 ▲ ．
3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线2x﹣y﹣1＝0上方的概率为 ．
4．在平面直角坐标系中，若抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ．
5．执行右边的程序框图，若p＝14，则输出的n的值
为 ▲ ．
6．函数的值域为 ▲ ．
7．等差数列中，若， 则 ▲ ．
8．现用一半径为10 cm，面积为80 cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm3．
9．已知，且，，则的值为 ▲ ．
10．已知实数满足，则的取值范围是 ▲ ．
11．若函数是偶函数，则实数a的值为 ▲ ．
12．在△ABC中，，，则的值为 ▲ ．
13．已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数m的取值范围是 ▲ ．
14．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 ▲ ．
二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
已知，．
（1）求的值；
（2）设函数，，求函数的单调增区间．
16．(本小题满分14分)
如图，在四棱锥中，底面为梯形，，， 交
于，锐角所在平面⊥底面，，点在侧棱上，且．
（1）求证：平面；
（2）求证：．
17．(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中，圆O：，直线l：．为
圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN的垂线交l于点P．
（1）若MN∥l，求△PMN的面积．
（2）判断直线PM与圆O的位置关系，并证明．
18．(本小题满分16分)
如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面。问：如何剪裁，才能使得铁皮圆柱的体积最大？
19．(本小题满分16分)
设数列的前项和，对任意，都有（为
常数）．
（1）当时，求；
（2）当时，
（ⅰ）求证：数列是等差数列；
（ⅱ）若对任意，必存在使得，已知，
且，求数列的通项公式．
20．(本小题满分16分)
若实数满足，则称为函数的不动点．
（1）求函数的不动点；
（2）设函数，其中为实数．
① 若时，存在一个实数，使得既是的不动点，又是 的不动点（是函数的导函数），求实数的取值范围；
② 令，若存在实数，使，，， 成各项都为正数的等比数列，求证：函数存在不动点．
江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试
数学附加题
2020.05
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21．[选做题]（本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
A.（选修4-2：矩阵与变换）（本小题满分10分）
已知矩阵M＝，对应的変换把点(2,1)变成点(7、－1).
(1) 求a,b的特征值.
(2) 求矩阵M的特征值.
B.（选修4-4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分）
以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中
取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方
程是ρ＝4cos θ，求直线l被圆C截得的弦长．
C．(选修4-5：不等式选讲）（本小题满分10分）
对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）
22．（本小题满分10分）
已知(1＋x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n．
（1）求a1＋a2＋a3＋…＋a2n的值；
（2）求－＋－＋…＋－的值．
23．（本小题满分10分）
甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢．此时，
两人正在游戏，且知甲再赢m（常数m1）次就获胜，而乙要再赢n（常数nm）
次才获胜，其中一人获胜游戏就结束．设再进行次抛币，游戏结束．
（1）若m，n，求概率；
（2）若，求概率（…）的最大值（用m表示）．
江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1. 2. 3. 4. 5. 4 6.
7. 40 8. 9. 10. [1,7] 11. 12. 1 13. 14.
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．(本小题满分14分)
解：（1）由，得，
即，所以．
因为，所以，所以，即．
（2）由（1）知，，
所以
．
令，
得，所以函数的单调增区间是，．
16．（本小题满分14分）
证明：（1）如图，连接，
因为，，
所， ………2分
又，
所以， …………4分
又平面， 平面，
所以平面. ……… 6分
（2）在平面内过作于，
因为侧面底面，平面平面，
平面，所以平面， …………………8分
又平面，所以， …………………10分
因为是锐角三角形，所以与不重合，
即和是平面内的两条相交直线，
又，所以平面， …………………12分
又平面，所以． …………………14分
17．（本小题满分14分）
解：（1）因为MN∥l，设直线MN的方程为，
由条件得，，解得，即直线MN的方程为．
因为，，所以，即，
所以．
又因为直线与直线间的距离，即点到直线的距离为3，
所以△PMN的面积为．
（2）直线PM与圆O相切，证明如下：
设，则直线的斜率，
因为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为．
联立方程组解得点的坐标为，
所以，
由于，，
所以
，
所以，即，所以直线PM与圆O相切，得证．
18. 设正三角形长为，如图，设，则，……………3分
若以为底、为高，则圆柱底面半径
，……………… 6分
当时，；当时，；
所以……………………………………………………………8分
若以为底、为高，则圆柱底面半径………………………11分
，
，令，得、
当时，；当时，；
所以 ………………………………………………………14分
因为，
所以以为底、为高，且时，体积最大。……………… 16分
19．解：（1）当，，时，．①
当时，，所以．
当时，．②
①－②得：．因为，所以，所以，
所以是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以．
（2）（ⅰ）当，，时，．③
当时，．④
③－④得：，⑤
所以．⑥
⑤－⑥得：．
因为，所以即，
所以是等差数列．
（ⅱ）因为，所以．
因为，所以，所以．
因为，所以．又因为，
所以，所以或．
当时，，，，
所以 不符合题意．
当时，，，
所以满足题意．
所以．
20.解：（1）由题意可知，．
令，．故．…………………………2分
列表：
x | 1 | ||
0 | |||
极大值 |
所以，方程有唯一解．
所以函数的不动点为．………………………………………………4分
（2）① 由题意可知………………………………………………6分
消去，得，，所以．…………………………8分
② ．
由题意知，，，成各项都为正数的等比数列，
故可设公比为，则
故方程有三个根，，．………………………………11分
又因为，所以为二次函数，
故方程为二次方程，最多有两个不等的根．则，，中至少有两个值相等．……………………………………………………………………13分
当时，方程有实数根，也即函数存在不动点，符合题意；
当时，则，，故，又因为各项均为正数，则，也即，同上，函数存在不动点，符合题意；
当时，则，，同上，函数存在不动点，符合题意；
综上所述，函数存在不动点．…………………………………………………16分
附加题参考答案
21A.
B．解：直线l的参数方程 (t为参数)化为直角坐标方程是y＝x－3，…… 2分
圆C的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x2＋y2－4x＝0． …… 5分
圆C的圆心(2，0)到直线x－y－3＝0的距离为d＝＝． …… 7分
又圆C的半径r＝2，
所以直线l被圆C截得的弦长为2＝． …… 10分
C. 解：设，即
所以的最小值为，所以．
当时，不等式即为，解得，矛盾；
当时，不等式即为，解得，所以；
当时，不等式即为，解得，所以．
综上，实数的取值范围是．
22.
（1）令x＝0得，a0＝1；令x＝1得，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n．
于是a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n－1．
（2）ak＝C，k＝1，2，3，…，2n，
首先考虑＋＝＋＝
＝＝，
则＝(＋)，
因此－＝(－)．
故－＋－＋…＋－
＝(－＋－＋…＋－)
＝(－)＝(－1)＝－．
23．(本小题满分10分)
解：（1）依题意， ．
（2）依题意，（…）．
设
则．
而 （＊）
．（＃）
因为的判别式
（显然在时恒成立），
所以．
又因为，所以（＃）恒成立，从而（＊）成立．
所以，即(当且仅当时，取“=”)，
所以的最大值为，
即的最大值为．
