江苏省如皋中学2020届高三创新班高考冲刺数学模拟试卷一不含附加题
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一、填空题
1. 已知正数满足，则的最小值为
2. 已知函数，其中，记为的最小值，则当=2时，的取值范围为_______
3. 已知函数，关于x的方程有三个不等实根，则实数m的取值范围是________
4. 已知椭圆C1：（a＞b＞0）与圆C2：，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是_______
5. 已知圆点，直线与圆交于两点，点在直线上且满足.若，则弦中点的横坐标的取值范围为_______
6. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且BC边上的高为，则的最大值是 ．
7. 已知梯形ABCD满足为焦点的双曲线经过B,C两点，若，则双曲线的离心率为________
8. 已知三角形ABC中，长为2的线段AQ为BC的边上的高，满足，且，则BH=________
9. 在棱长为1的正方体中，MN分别是棱的中点，P是体对角线上一点，满足，则平面MNP截正方体所得截面周长为_______
10.已知数列满足，则________
11. .已知△ABC中，角ABC的对边分别是a，b，c，若，且，则_________
12.函数的最小值为______
13. 已知在锐角中，角的对边分别为.若，则的最小值为_____________.
14. 已知两个向量，若对上任意点A，恒成立（其中O为原点），则的最大值为______
二、解答题
15.在中，角所对的边分别为，已知，.
（1）求的值；
（2）若，求周长的取值范围.
16. 如图，在多面体ABCDEF中，，，是边长为2的等边三角形，四边形ACDF是菱形，，M，N分别是AB，DF的中点．求证：
平面AEF；
平面平面ACDF．
17.为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，内部有一“杠铃形图案”(如图阴影部分)，圆的半径为1米，，是圆的直径，，在弦上，，在弦上，圆心是矩形的中心，若米，，．
(1)当时，求“杠铃形图案”的面积；
(2)求“杠铃形图案”的面积的最小值．
18. 已知椭圆的左焦点为，点为椭圆的左、右顶点，点是椭圆上一点，且直线的倾斜角为，，已知椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上异于的两点，若直线的斜率等于直线斜率的倍，求四边形面积的最大值.
19．已知正项数列，满足：对任意正整数，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列，的通项公式；
（Ⅲ）设=++…+，如果对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
20. 已知函数，其中，为自然对数的底数.
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若函数在定义域上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围；
（3）设函数在区间)上存在极值，求证：.
江苏省如皋中学2020届高三创新班高考冲刺数学模拟试卷一
一、填空题
1. 已知正数满足，则的最小值为 2
2. 已知函数，其中，记为的最小值，则当=2时，的取值范围为_______
3. 已知函数，关于x的方程有三个不等实根，则实数m的取值范围是________
4. 已知椭圆C1：（a＞b＞0）与圆C2：，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是_______
5. 已知圆点，直线与圆交于两点，点在直线上且满足.若，则弦中点的横坐标的取值范围为_______
6. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且BC边上的高为，则的最大值是 ．
7. 已知梯形ABCD满足为焦点的双曲线经过B,C两点，若，则双曲线的离心率为________
8. 已知三角形ABC中，长为2的线段AQ为BC的边上的高，满足，且，则BH=________
9. 在棱长为1的正方体中，MN分别是棱的中点，P是体对角线上一点，满足，则平面MNP截正方体所得截面周长为_______
10.已知数列满足，则________
11. .已知△ABC中，角ABC的对边分别是a，b，c，若，且，则_________
12.函数的最小值为_______1
13. 已知在锐角中，角的对边分别为.若，则的最小值为_____________.
14. 已知两个向量，若对上任意点A，恒成立（其中O为原点），则的最大值为______
二、解答题
15.在中，角所对的边分别为，已知，.
（1）求的值；
（2）若，求周长的取值范围.
【解析】
（1）由及二倍角公式得，
又即，所以；
（2）由正弦定理得，
周长：
，
又因为，所以.
因此周长的取值范围是.
16. 如图，在多面体ABCDEF中，，，是边长为2的等边三角形，四边形ACDF是菱形，，M，N分别是AB，DF的中点．
求证：
平面AEF；
平面平面ACDF．
【答案】证明：取AC的中点O，连接OM，ON，
因为M，N分别是AB，DF的中点，所以在菱形ACDF中，，
因为平面AEF，平面AEF，
所以平面AEF，
在中，，
又，
所以，
因为平面AEF，平面AEF，
所以平面AEF，
因为，OM、平面OMN，
所以平面平面AEF，
平面OMN，
所以平面AEF．
证明：连结OF，OB，是边长为2的等边三角形，
所以，，
四边形ACDF是菱形，
，
，
，
，
，
，
又，
所以平面ACDF，且平面ABC，
所以平面平面ACDF．
17.为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，内部有一“杠铃形图案”(如图阴影部分)，圆的半径为1米，，是圆的直径，，在弦上，，在弦上，圆心是矩形的中心，若米，，．
(1)当时，求“杠铃形图案”的面积；
(2)求“杠铃形图案”的面积的最小值．
【详解】设中点为，连结，则，，
则，，．
(1)当时，杠铃形图案的面积，
故当时，杠铃形图案的面积为平方米．
(2)杠铃形图案的面积，
，
因为，所以，，单调递增．
所以当时，的最小值为．
答：杠铃形图案的面积的最小时为平方米．
18. 已知椭圆的左焦点为，点为椭圆的左、右顶点，点是椭圆上一点，且直线的倾斜角为，，已知椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上异于的两点，若直线的斜率等于直线斜率的倍，求四边形面积的最大值.
【详解】（1）椭圆的离心率，，
设椭圆右焦点为，连接，则，
在中，由余弦定理得：，
即，又 解得：，，，椭圆的方程为.
（2）由（1）知：，，
设直线斜率为，则直线方程为，
由得：，
则，
设，则，，，，由可得直线方程为，
同理可求得：，
由对称性，不妨设，则四边形的面积：
，
令，则（当且仅当，即时取等号），
，的最大值为.
19．已知正项数列，满足：对任意正整数，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列，的通项公式；
（Ⅲ）设=++…+，如果对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由已知得，
即， 由2b1=a1+a2=25，得b1=， 由a22=b1b2，得b2=18，
∴{}是以为首项，为公差的等差数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，
因为，，成等比数列，所以.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
原式化为，即f（n）=恒成立，
当a–1＞0即a＞1时，不合题意；当a–1=0即a=1时，满足题意；
当a–1＜0即a＜1时，f（n）的对称轴为，f（n）单调递减，
∴只需f（1）=4a–15＜0，可得a＜，∴a＜1；综上，a≤1.
20. 已知函数，其中，为自然对数的底数.
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若函数在定义域上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围；
（3）设函数在区间)上存在极值，求证：.
【解析】（1）当时，，，，，
所以函数在处得切线方程为．
（2）因为，，，所以．
①若，则，在上是单调增函数，
所以在上至多一个零点，与题意不符合．
②若，令，得．
0 | |||
极小值 |
（ⅰ）若，即时，有且仅有一个零点，与题意不符．
（ⅱ）若，即时，，，
又，且的图像在上不间断，
所以存在，使得．
此时，在恰有两个不同得零点和．所以符合题意．
（ⅲ）若，即时，．
令，，，
所以在上是单调增函数，，
所以在上是单调增函数，．
所以，且，的图像在上不间断，
所以存在，使得．
此时，在恰有两个不同得零点和．
所以符合题意．综上所述，实数的取值范围是或．
（3）依题意，．
则，令，，，
所以在上是单调增函数．要使得在上存在极值，
则须满足即
所以，，即．
由（2）可知，当时，，
所以，．
所以，
即，
所以．
