江苏省苏锡常镇四市2020届高三第二次模拟考试（5月） 数学


2020届高三模拟考试试卷
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
2020．5
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A＝{1，2}，B＝{－1，a}．若A∪B＝{－1，a，2}，则a＝________．
2. 若复数z满足(1－i)z＝1＋i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．
3. 某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是________．
　　　　　　
　　y←1
x←1
While y≥1
　y←3－x2
　x←y
End While
Print y
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(第3题)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(第4题)
4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出y的值为________．
5. 某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为________．
6. 函数f(x)＝＋ln x的定义域为________．
7. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点是双曲线－＝1的顶点，则a＝________．

(第9题)
8. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝5S2，a2＝2，则a4＝________．
9. 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为6，点M是对角线A1C上靠近点A1的三等分点，则三棱锥CMBD的体积为________．
10. 已知定义在R上的奇函数f(x)的周期为2，且x∈[0，1]时，f(x)＝则a＋b＝________．
11. 已知锐角α满足sin 2α－2cos 2α＝－1，则tan(α＋)＝________．

(第12题)
12. 如图，在△ABC中，∠ABC＝，AB＝1，BC＝3，以AC为一边在△ABC的另一侧作正三角形ACD，则·＝________．
13. 在平面直角坐标系xOy中，AB是圆O：x2＋y2＝1的直径，且点A在第一象限；圆O1：(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)与圆O外离，线段AO1与圆O1交于点M，线段BM与圆O交于点N，且＋＝0，则a的取值范围是________．
14. 已知a，b∈R，a＋b＝t(t为常数)，且直线y＝ax＋b与曲线y＝xex(e是自然对数的底数，e≈2.718 28…)相切．若满足条件的有序实数对(a，b)唯一存在，则实数t的取值范围是________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在△ABC中，已知a，b，c分别为角 A，B，C的对边，且bsin 2A＝asin B.
(1) 求A；
(2) 求cos(B＋)＋sin(C＋)的最大值．










16. (本小题满分14分)
在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，且平面A1ADD1⊥平面ABCD，DA1＝DD1，点E，F分别为线段A1D1，BC的中点．求证：
(1) EF∥平面CC1D1D；
(2) AC⊥平面EBD.








17. (本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点到右准线的距离为3.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 过点P(0，1)的直线l与椭圆C交于两点A，B.己知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标．








18. (本小题满分16分)
某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B.现规划修建一条新路(由线段MP，，线段QN三段组成)，其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，所对的圆心角为.记∠PCA＝2θ(道路宽度均忽略不计)．
(1) 若θ＝，求QN的长度；
(2) 求新路总长度的最小值．









19. (本小题满分16分)
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且对任意n∈N*，anSn＋1－an＋1Sn＝2an＋1－2an恒成立．
(1) 求证：数列{}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2) 设bn＝an＋4n－3，已知b2，bi，bj(2＜i＜j)成等差数列，求正整数i，j .








20. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝(m－1)x＋ln x，g(x)＝(m－2)x2＋(n＋3)x－2，m，n∈R.
(1) 当m＝0时，求函数f(x)的极值；
(2) 当n＝0时，函数F(x)＝g(x)－f(x)在(0，＋∞)上为单调函数，求m的取值范围；
(3) 当n＞0时，判断是否存在正数m，使得函数f(x)与g(x)有相同的零点，并说明理由．











2020届高三模拟考试试卷
数学附加题
(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修42：矩阵与变换)
已知点M(2，1)在矩阵A＝对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A的特征值．







B. (选修44：坐标系与参数方程)
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)．以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝.
(1) 求曲线C和直线l的普通方程；
(2) 点P是曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值．







C. (选修45：不等式选讲)
已知a，b，c是正数，求证：对任意x∈R，不等式|x－2|－|x＋1|≤＋＋恒成立．






【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝AP＝3，点M是棱PD的中点．
(1) 求二面角MACD的余弦值；
(2) 点N是棱PC上的点，已知直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为，求的值．













23. 已知数列{an}中，a1＝6，an＋1＝a－an＋3(n∈N*)．
(1) 分别比较下列每组中两数的大小：
① a2和6×；② a3和6×()3；
(2) 当n≥3时，求证：()>2×()n－3.








2020届高三模拟考试试卷(苏锡常镇)
数学参考答案及评分标准

1. 1　2. 0　3. 30　4. －1　5. 2　6. (0，2]　7. 1　8. 2或8　9. 24　10. 0　11. 2　12. 4
13. (2，4)　14. t＝e或t2)，所以n>2时，数列{cn}单调递增，其中c3＝6>0，所以cn>0，
即2j－2＋j＋3>2i－1＋2i，所以(*)式不成立．(15分)
综上可得i＝4，j＝5.(16分)
20. 解：(1) 当m＝0时，f(x)＝－x＋ln x，令f′(x)＝－1＋＝0，得x＝1，列表如下：

x
(0，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)

极大值

所以，当x＝1时，函数f(x)有极大值为f(1)＝－1，函数f(x)无极小值．(3分)
(2) 当n＝0时，F(x)＝(m－2)x2＋(4－m)x－ln x－2，x∈(0，＋∞)，
则F′(x)＝2(m－2)x＋(4－m)－＝＝，
当m－2≥0，即m≥2时，令F′(x)>0，则x>，所以F(x)在(0，)上单调递减，
在(，＋∞)上单调递增，不符合题意；(5分)
当m0，
所以m＝1－>0，两边同时乘以x0，有mx0＝x0－ln x0，
化简得(m－1)x0＋ln x0＝0，即x0也是f(x)的零点；
两边同时乘以x0可得(m－1)x＋x0ln x0＝0　②.(14分)
用②－①可得(m－2)x＋(n＋3)x0－2＝0，所以x0也为g(x)的一个零点，
所以当n>0时，存在正数m，使得函数f(x)与g(x)有相同的零点．(16分)


2020届高三模拟考试试卷(十八)(苏锡常镇)
数学附加题参考答案及评分标准

21. A. 解：因为点M(2，1)在矩阵A＝对应的变换作用下得到点N(5，6)，
所以＝，则解得所以A＝.(5分)
f(λ)＝|λE－A|＝＝(λ－1)(λ－2)－6，令f(λ)＝0，得λ2－3λ－4＝0，
即(λ－4)(λ＋1)＝0，解得λ1＝4，λ2＝－1，
所以矩阵A的特征值为4或－1.(10分)
B. 解：(1) 由题意，曲线C的普通方程为＋y2＝1，
直线l的普通方程为x＋y－2＝0.(4分)
(2) 设P(2cos α，sin α)，则P到直线l的距离
d＝＝＝，(8分)
所以当sin(α＋θ)＝1时，dmin＝，
所以P到直线l的距离的最小值为.(10分)
C. 证明：对于正数a，b，c，由均值不等式得＋＋≥3＝3，
当且仅当a＝b＝c时取等号．(4分)
对任意x∈R，由绝对值不等式得|x－2|－|x＋1|≤||x－2|－|x＋1||≤|(x－2)－(x＋1)|＝3，
当且仅当x≤－1时取等号，(8分)
所以，对任意x∈R，都有不等式|x－2|－|x＋1|≤＋＋成立．(10分)

22. 解：(1) 以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3), M(0，，)，＝(0，0，3)，＝(2，3，0)，＝(0，，)．
因为PA⊥平面ABCD，所以平面ACD的一个法向量为＝(0，0，3)．(1分)
设平面MAC的法向量为n＝(x，y，z)，
所以即取n＝(3，－2，2)，(3分)
所以cos〈，n〉＝＝＝，
所以，由图可得二面角MACD的余弦值为.(5分)
(2) 设＝λ(λ∈(0，1))，其中＝(2，3，－3)，
所以＝＋＝(0，－，)＋(2λ，3λ，－3λ)＝(2λ，3λ－，－3λ＋)．
因为平面ABCD的一个法向量为＝(0，0，3)，
所以cos〈，〉＝＝＝.(8分)
因为直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为，
所以＝，所以＝，
化简得4λ＝1，即λ＝，所以＝＝.(10分)
23. (1) 解：① 因为a2＝9，6×＝9，所以a2＝6×；
②因为a3＝21，6×()3＝，所以a3＞6×()3.(3分)
(2) 证明：先用数学归纳法证明：当n≥3时，an>6×().(4分)
①当n＝3时，a3＞6×()3；
②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，结论成立，即ak>6×()，
当n＝k＋1时，ak＋1＝a－ak＋3>×[6×()]2－6×()＋3>×[6×()]2－6×()，
其中>－＝2×()－()－k>1，
所以ak＋1>6×()，所以当n＝k＋1时，结论也成立，
综上所得，当n≥3时，an>6×()，(8分)
从而，当n≥3时，()>()n－1，
则()>()＋()2＋()3＋…＋()n－1＝＋()2＋()3＋…＋()n－1
＝×＝2×()n－3，所以当n≥3时，()>2×()n－3.(10分)