江西省抚州市临川第一中学2020届高三5月模拟考试数学（文）试题

2020届临川一中暨临川一中实验学校高三文科数学月考试卷

（满分：150分 考试时间：120分钟）

一、 选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）

1．若复数z满足,则复数z在复平面内对应的点在（   ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 

2．已知集合,,则为（   ）

A． B． C． D．

3．若点在直线上,则的值等于（   ）

A．   B．      C．       D．

4.在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是(    )

A．2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌

B．2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高

C．2019年我国居民每月消费价格逐月递增

D．2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降

5．如图所示的程序框图可以计算的近似值(其中P表示的近似值),若输入,则输出的结果是（   ）

A． B．

C． D．

6．已知实数满足约束条件,则的取值范围是（   ）

A．      B．      C．   D．

7．在中,,为上一点,若,则实数的值（   ）

A． B． C． D．

8．函数的图象大致为（   ）

9．将函数的图象向左平移个单位长度,向下平移个单位长度后,得到的图象,若对于任意的实数,都单调递增,则正数的最大值为（   ）

A． B． C． D．

10．若将双曲线绕其对称中心旋转后可得某一函数的图象,则双曲线的离心率等于（   ）

A． B． C．2或 D．2或

11．某同学自制了一套数学实验模型,该模型三视图如图所示.模型内置一个与其各个面都相切的球,该模型及其内球在同一方向有开口装置.实验的时候,随机往模型中投掷大小相等,形状相同的玻璃球,通过计算落在球内的玻璃球数量,来估算圆周率的近似值.已知某次实验中,某同学一次投掷了个玻璃球,请你估算落在球内的玻璃球数量（其中）（   ）

A．286 B．289 C．298 D．302

12．已知数列各项为正,,,记,,则（   ）

A．  B．  C．  D．

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）

13．的内角的对边分别为,已知,则______.

14．已知正实数满足,则的最小值为______.   

15．已知分别是椭圆的左右顶点,是的右焦点,点在上且满足（为坐标原点）,线段交轴于点,连线段交于点,且,则椭圆的离心率为______.

16．已知函数,,曲线上总存在两点,,使曲线在两点处的切线互相平行,则的取值范围为______.

三、解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期,我市教育局提出“停课不停学”的口号,鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系,在高三年级中随机选取45名学生进行跟踪问卷,其中每周线上学习数学时间不少于6小时的有20人,在这20人中分数不足120分的有4人；在每周线上学习数学时间不足于6小时的人中,在检测考试中数学平均成绩不足120分的占：

（1）请完成列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；

（2）在上述样本中从分数不足于120分的学生中,按照分层抽样的方法,抽到线上学习时间不少于6小时和线上学习时间不足6小时的学生共5名,若在这5名学生中随机抽取2人,求这2人每周线上学习时间都不足6小时的概率.（临界值表仅供参考）

（参考公式 其中）

18．（本小题满分12分）已知正项单调递增的等比数列中,且依次构成等差数列．

（I）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足,,求数列的前项和．

19.（本小题满分12分）如图,是边长为3的正方形,平面,

平面,.

（1）证明：平面平面；

（2）点在上,且,求平面将几何体分成上下两部分的体积之比？

20．（本小题满分12分）已知抛物线上一点到其准线的距离为2．

（1）求抛物线的方程；

（2）如图,,为抛物线上三个点,,若四边形为菱形,求四边形的面积．

21．（本小题满分12分）已知,.

（1）若,证明函数在单调递增；

（2）设 ,对任意,恒成立,求实数的取值范围.

请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做,则按所做的第一个题目计分．

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）若射线与和分别交于点,求．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知.

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值为,且,求证：.

2020届临川一中暨临川一中实验学校高三文科数学月考答案

一、单选题

1-5．ADADB    6-10．BCDBC     11-12．BC

二、填空题

13．    14．25     15．     16．

三、解答题

17．【答案】（1）见解析，有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）0.6

解：（1）

有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关” ………………6

（2）抽到线上学习时间不足于6小时的学生人，设为，，，

线上学习时间不足6小时的学生1人，设为

所有基本事件有：、、、、、、、、、共10种   …………………………8

其中2人每周线上学习时间都不足6小时有：、、、、、共6种       …………………………10

故2人每周线上学习时间都不足6小时的概率为（或0.6）…………………………12

18.【答案】（I）（Ⅱ）

（I）设等比数列的公比为，由题可知

所以，解得．所以．…………………4

（Ⅱ）当时，由知．

于是，所以．…………………………8

…………………………12

19．【答案】（1）见解析（2）.

解：（1）∵平面，平面，∴，∴平面，

∵是正方形，，∴平面，

∵，平面，平面，∴平面平面.………………4

（2）过作交于，连接，

，………………6

取中点，连，则，且则为中点，     …………………………………………8

   ………………………………10

           ………………………………12

20．【答案】(1) ；(2) 或

（1）由已知可得，得   

抛物线的方程为…………………………4

（2）设，，菱形的中心,当轴，则在原点，，

，，菱形的面积，……………………………………6

当与轴不垂直时，设直线方程：，则直线的斜率为

消去得：,

,………………8

，，∵为的中点∴，

点在抛物线上，且直线的斜率为．

解得：，………………………………10

，,

综上，或………………………………12

21．【答案】（1）在上单调递增（2）

【详解】解：（1） ，

，由于，所以，，

所以，即在上恒成立，故在上单调递增.………………4

（2），由题意：对，恒成立，

设，………………………………6

又设

则 ，因此在单调递增，

所以，………………………………8

当时，，即，在单调递增，

故有，即适合题意.……………………………………9

当时，，，

若，则取，时，，

若，则在上存在唯一零点，记为，当时，，

总之，存在使时，，即，所以单调递减，，

故时存在使不合适题意，综上，为所求.…………………………12

22.【解析】（1）由可得，

由，消去参数，可得直线的普通方程为．（2分）

由可得，将，代入上式，可得，

所以曲线的直角坐标方程为．…………………………5

（2）由（1）得，的普通方程为，

将其化为极坐标方程可得，…………………………7

当时，，，所以．……………………10

23.【解析】（1）当时，等价于，该不等式恒成立；

当时，等价于，该不等式不成立；

当时，等价于，解得，…………………………3

所以不等式的解集为.…………………………5

（2）因为，当时取等号，所以,，………7

由柯西不等式可得,

当且仅当时等号成立，所以.…………………………10