江西省九江市十校2020届高三下学期模拟考试数学（理）试题217C
展开数学（理科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若，则（ ）
A. B.3 C. D.1
2.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）
A. B. C. D.
4.若双曲线的离心率为，则（ ）
A. B. C.4 D.
5.如图在等腰直角中，，分别为斜边的三等分点（靠近点），过作的垂线，垂足为，则（ ）
A. B.
C. D.
6.已知底面是等腰直角三角形的三棱锥的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）
A.，，两两垂直 B.三棱锥的体积为
C.三棱锥的侧面积为 D.
7.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在内的概率为（附：若，则，）
A.0.6826 B.0.8413 C.0.9544 D.0.8185
8.已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
9.若曲线存在斜率小于1的切线，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数则函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
11.已知直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线交于，两点，设，则（ ）
A. B. C. D.
12.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ）
A.56383 B.59189 C.57171 D.61242
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.的展开式中的系数为___________.（用数字作答）
14.在等比数列中，，，则的前5项和为___________.
15.已知为偶函数，当时，，当时，，则不等式的解集为___________.
16.在矩形中，，为的中点，将和分别沿，翻折，使点与重合于点.若，则三棱锥的外接球的表面积为_______.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
如图，四棱锥的侧棱与四棱锥的侧棱都与底面垂直，，，，，，.
（1）证明：平面.
（2）求平面平面所成的锐二面角的余弦值.
18.（12分）
已知椭圆的焦距为，短轴长为.
（1）求的方程；
（2）若直线与相交于，两点，求以线段为直径的圆的标准方程.
19.（12分）
的内角，，所对的边分别为，，.已知，，.
（1）求；
（2）求内切圆的半径.
20.（12分）
追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（）的检测数据，结果统计如下：
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
天数 | 6 | 14 | 18 | 27 | 25 | 20 |
（1）从空气质量指数属于，的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率.
（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失（单位：元）与空气质量指数的关系式为假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为，，，，，.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.
（i）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为元，求的分布列；
（ii）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.
21.（12分）
已知函数，函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
（3）证明：当时，.
（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.
22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点的直角坐标为，过的直线与曲线相交于，两点.
（1）若的斜率为2，求的极坐标方程和曲线的普通方程；
（2）求的值.
23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数，记不等式的解集为.
（1）求；
（2）设，，证明：.
数学参考答案（理科）
1.C 因为，所以.
2.B 因为，，所以.
3.B 水费开支占总开支的百分比为.
4.D 因为可化为，所以，则，即.
5.A 设，则，，，所以，所以.因为，所以.
6.D 根据三视图，可得三棱锥的直观图如图所示，其中为中点，底面所以三棱锥的体积为，，，，不可能两两垂直，三棱锥的侧面积为.
7.D 由题意，，，则，，
所以，.
故果实直径在内的概率为0.8185.
8.B 因为，所以，即，因为，所以的最小值为.
9.C 由题意可得在上有解.
设，，
令，得；令，得.
故，则.
10.B 当时，，此时，无零点；
当时，为增函数，且.
令，得，因为，，
所以函数的零点所在区间为.
11.A 设，，联立得，则.因为直线经过的焦点，所以.同理可得，所以.
12.B 被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，公差为的等差数列.记该数列为，则，令，解得，故该数列各项之和为.
13. 的展开式的通项，令，得，则的系数为.
14. ∵，∴，∴，，∴的前5项和为.
15. 当时，，解得，所以；当时，，解得，所以.因为为偶函数，所以不等式的解集为.
16. 由题意可知，，，所以平面.设外接圆的半径为，则由正弦定理可得，即，所以，设三棱锥外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为.
17.（1）证明：∵平面，∴.
∵，，∴.
同理可得.
又平面，平面，
∴.
∵，∴四边形为平行四边形，∴.
∵平面，平面，∴平面.
（2）解：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，.
设平面的法向量为，
则，即
令，则，得.
易知平面的一个法向量为，
∴，
故所求锐二面角的余弦值为.
18.解：（1）因为，，
所以，，.
所以的方程为.
（2）联立消去得.
设，，则，，
所以，中点坐标为.
因为，
所以所求圆的标准方程为.
19.解：（1）由，得，
则.
又，，所以.
由余弦定理得，，即，
即，解得或5.
当时，，则，从而，，这与矛盾，故.
当时，，则，故.
（2）由（1）知，的面积为，
则内切圆的半径.
（注：本题阅卷时若岀现两解而未舍去一解，两问各扣1分，一般地，解三角形出现两解都要验证）
20.解：（1）设为选取的3天中空气质量为优的天数，则
.
（2）（ⅰ）的可能取值为0，220，1480，
，
，
，
则的分布列为
0 | 220 | 1480 | |
（ii）由（i）知（元），
故该企业9月的经济损失的数学期望为（元）.
设该企业7月与8月每天因空气质量造成的经济损失为元，
则，，
，
所以（元），
所以7月与8月因空气质量造成经济损失的总额为（元）.
因为万，
所以这3个月经济损失总额的数学期望会超过2.88万元.
21.（1）解：的定义域为，，
当，时，，则在上单调递增；
当，时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增；
当，时，，则在上单调递减；
当，时，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：设函数，则.
因为，所以，，
则，从而在上单调递减，
所以，即.
（3）证明：当时，.
由（1）知，，所以，
即.
当时，，，
则，
即.
又，
所以，
即.
22.解：（1）的直角坐标方程为，即，
则的极坐标方程为.
曲线的普通方程为.
（2）直线的参数方程为（为参数，为的倾斜角），
代入曲线的普通方程，得.
设，对应的参数分别为，，则.
23.（1）解：
由，解得，
故.
（2）证明：因为，，所以，，
所以，
所以.
