江西省南昌市2020届高三模拟考试数学（文）试题
展开南昌市第二次模拟测试卷
文科数学
本试卷共4页，23小题，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．
3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数，，，则（ ）
A． B．2 C． D．4
2．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知空间内两条不同的直线a，b，则“”是“a与b没有公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数的图象关于原点对称，则（ ）
A． B．1 C． D．
6．已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则角A等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知、为不共线的两个单位向量，且在上的投影为，则（ ）
A． B． C． D．
8．直线被圆截得最大弦长为（ ）
A． B． C．3 D．
9．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线的焦点为F，是抛物线上一点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若，则（ ）
A．3 B． C．4 D．
11．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影，在A处测得B处的仰角为37度，在A处测得C处的仰角为45度，在B处测得C处的仰角为53度，A点所在等高线值为20米，若BC管道长为50米，则B点所在等高线值为（参考数据）
A．30米 B．50米 C．60米 D．70米
12．已知函数在区间上有且仅有2个最小值点，下列判断：
①在上有2个最大值点；②在上最少3个零点，最多4个零点；
③；④在上单调递减．其中所有正确判断的序号是（ ）
A．④ B．③④ C．②③④ D．①②③
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为________．
14．已知函数，，则的最小值为________．
15．已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为P，若，则双曲线的离心率为________．
16．已知四棱锥的底面ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，E为PD中点，过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，则________，四边形EMBN的面积为________．
三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．（12分）甲、乙两位战士参加射击比赛训练．从若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲82 81 79 78 95 88 93 84
乙92 95 80 75 83 80 90 85
（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据，并分别求两组数据的中位数；
（Ⅱ）现要从中选派一人参加射击比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位战士参加合适？请说明理由．
18．（12分）已知等差数列的公差为，前n项和为，且满足________（从①﹔②，，成等比数列；⑧，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）．
（Ⅰ）求﹔
（Ⅱ）若，求数列的前n项和．
19．（12分）如图所示，四棱柱，底面ABCD是以AB，CD为底边的等腰梯形，且，，．
（Ⅰ）求证：平面平面ABCD；
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．
20．（12分）已知函数．
（Ⅰ）讨论在区间上的单调性；
（Ⅱ）若恒成立，求实数a的最大值．（e为自然对数的底）
21．（12分）已知椭圆，过点的两条不同的直线与椭圆E分别相交于A，B和C，D四点，其中A为椭圆E的右顶点．
（Ⅰ）求以AB为直径的圆的方程：
（Ⅱ）设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆相交于M，N两点，探究直线MN是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系xOy中，抛物线E顶点在坐标原点，焦点为．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求抛物线E的极坐标方程；
（Ⅱ）过点倾斜角为的直线l交E于M，N两点，若，求．
23．（10分）选修4-5：不等式选讲
已知，．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）求证：．
参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | D | C | A | A | A | C | D | D | C | D | B | A |
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．3 14． 15． 16．；
三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．【解析】（Ⅰ）作出茎叶图如下：
从茎叶图中得出甲的中位数为，
而乙的中位数为； （茎叶图3分) 5分
（Ⅱ），
，
，
， （均值各1分，方差各1.5分) 10分
，，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．
注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分，如派乙参赛比较合适，理由如下：从统计的角度看，甲获得85以上（含85分）的概率，乙获得85分以上（含85分）的概率，，所以派乙参赛比较合适． 12分
18．【解析】（Ⅰ）①由，得，即；
②由，，成等比数列，得，，即﹔
③由，得，即； （每个条件转化1.5分）
选择①②、①③、②③条件组合，均得、，即﹔ 6分
（Ⅱ），
，
两式相减得：， 9分
得 12分
19．【解析】（Ⅰ）中，，，，得， 2分
则，即， 4分
而，故平面，
又面ABCD，所以平面平面ABCD． 6分
（Ⅱ）取BD的中点O，由于，所以，
由（Ⅰ）可知平面面ABCD，故面ABCD．
因为，，则，
因为平面ABCD， 9分
所以
． 12分
20．【解析】（Ⅰ），时，﹔时，．
①当时，在上单调递增；
②当时，在上单调递减，上递增；
③当时，在的单调递减； （每段讨论1.5分) 6分
（Ⅱ），即，
由（Ⅰ）知：在上递减，在上递增，
则，即， 9分
令，，即在R单调递增，
而，，
所以，即a的最大值为． 12分
21．【解析】（Ⅰ）由已知，则，故AB方程：，
联立直线AB与椭圆方程，消去y可得：，得，即，
从而以AB为直径的圆方程为：，
即． 4分
（Ⅱ）（1）当CD斜率存在时，并设CD方程：，设，
由，消去y得：，
故，，从而，
， 7分
而以CD为直径的圆方程为：，
即， ①
且以AB为直径的圆方程为， ②
将两式相减得直线，
即，
可得：，两条直线互异，则，
即， 9分
令，解得，即直线MN过定点； 10分
（2）当CD斜率不存在时，CD方程：，知，，
则以CD为直径的圆为，
而以AB为直径的圆方程，
两式相减得MN方程：，过点；
综上所述，直线MN过定点． 12分
22．【解析】（Ⅰ）由题意抛物线E的焦点为，所以标准方程为，
故极坐标方程为﹔ 4分
（Ⅱ）设过点A的直线l参数方程为（t为参数），
代入，化简得，
，，
且 6分
由，A在E内部，知，
得或，
所以，当时，解得，
所以，当时，解得 （每个结果1.5分）
所以或． 10分
23．【解析】（Ⅰ）当时，不等式为，平方得，
则，得，即或，
所以，所求不等式的解集； 5分
（Ⅱ）因为
，
又，
所以，不等式得证．
