江西省南昌市八一中学2020届高三第三次模拟数学（理）试题

2020届南昌市八一中学高三理科数学第三次模拟考试卷

一、选择题（共12小题）

1.已知集合 A ＝，集合 B 满足 A ∩ B ＝ A，则 B可能为(   )

A.      B.  C. D.

2.已知复数z满足 （i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.已知角终边上一点的坐标为，则（    ）

A．    B．    C．    D．

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件 

C.充要条件         D.既不充分也不必要条件

5. 图1为某省2019年1至4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1至4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（“同比”指与去年同月相比）（　　）

A．2019年1至4月的快递业务收入在3月最高，2月最低，差值超过20000万元 

B．2019年1至4月的快递业务收入同比增长率不低于30%，在3月最高 

C．从1至4月来看，该省在2019年快递业务量同比增长率逐月增长

D．从两图来看2019年1至4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率不完全一致

6.若a，b为正实数，直线4x+(2a-3)y+2=0与直线bx+2y-1=0互相垂直，则ab的最大值为（   ）

A．          B．        C．     D．

7．2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为“国际数学日”（昵称：πday），2020年3月14日是第一个“国际数学日”。圆周率π是圆的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式，即为正奇数倒数正负交错相加等。小红设计了如图所示的程序框图，要求输出的T值与π非常近似，则①、②中分别填入的可以是

A．S＝（﹣1）i﹣1，i＝i+2               B．S＝（﹣1）i﹣1，i＝i+1 

C．S＝S+（﹣1）i﹣1，i＝i+2               D．S＝S+（﹣1）i﹣1，i＝i+1

8．已知函数y＝sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y ＝loga（x﹣b）的图象可能是（　　）

A．  B．                   C．  D．

9.中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，中国茶的发现和利用已有四千七百多年的历史， 且长盛不衰，传遍全球,为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”，为了解每壶“金萱排骨茶” 中所放茶叶量x克与食客的满意率y的关系，通过试验调查研究，发现可选择函数模型来拟合y与 x的关系，根据以下数据：

可求得y关于x的回归方程为

A. B.     C.   D.

10．已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线交于，两点，若，则抛物线的方程是（    ）

A.          B.        C.       D.

11．如图所示，三棱锥S一ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为

A．π             B．π         C．π         D．3π

12．若函数f（x）＝2x+sinx•cosx+acosx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（　　）

A．[﹣1，1] B．[﹣1，3] C．[﹣3，3] D．[﹣3，﹣1]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，，且，则向量与的夹角为______．

15．在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是棱B1C1，C1D1的中点，过A，M，N三点作正方体的截面，将截面多边形向平面ADD1A1作投影，则投影图形的面积为　   　．

16. 已知函数，若在区间上方程只有一个解，则实数的取值范围为______.

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，S3＝6，a3是a1与a9的等比中项．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列，数列{bn}的前2n项和为，若，求正整数n的最小值。

18.如图，已知三棱柱的所有棱长均为2，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若平面平面，为的中点，求与平面

所成角的正弦值．

19. 阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”。他们的调查结果如下：

（1）完成如下列联表，并判断是否有的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？

（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本.

（i）求抽取的文科生和理科生的人数；

（ii）从10人的样本中随机抽取3人，用表示这3人中文科生的人数，求的分布列和数学期望.

参考数据：

，.

20. 已知椭圆与抛物线有共同的焦点F，且两曲线的公共点到F的距离是它到直线（点F在此直线右侧）的距离的一半。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设O为坐标原点，直线l过点F且与椭圆交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB．是否存在直线l，使点M落在椭圆C或抛物线D上？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．

21．（12分）已知函数

（1）当时，总有，求m的最小值．

（2）对于[0，1]中任意x恒有，求a的取值范围．

 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为。以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出直线l与曲线C的交点M，N的极坐标；

（2）设P是椭圆上的动点，求△PMN面积的最大值．

23. （10分）设函数

（1）当a＝1，b＝1时，求不等式的解集；  

（2）若f（x）的最小值为2，求的最小值．

南昌市八一中学2020届高三数学三模试卷（理科）参考答案

一、选择题（共12小题）   DDCAC   BDCDC   AA

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．      14. -80     15．      16.

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17． 解：（1）公差d不为零的等差数列{an}，由a3是a1与a9的等比中项，可得，即a1（a1+8d）＝（a1+2d）2，化为a1＝d，

又S3＝3a1+3d＝6，可得a1＝d＝1，

所以数列{an}是以1为首项和公差的等差数列，故综上；(5分）

（2）由（1）可知，(7分）

所以

＝，(10分）

所以，故n的最小值为505．(12分）

18.

证明：（Ⅰ）取中点，连接，，．

∵三棱柱的所有棱长均为2，，

∴和是边长为2的等边三角形，且．

∴，．

∵，平面，，∴平面．

∵平面，∴．

∵，平面，，∴平面，

∴．(6分）

另证：平面

（Ⅱ）∵平面平面，且交线为，

由（Ⅰ）知，∴平面．

则，，两两垂直，则以为原点，为轴，为轴，为轴，

建立空间直角坐标系．

则，，，，，

∵为的中点，∴，

∴，，，

设平面的法向量为，

则，取，得．

设与平面所成的角为，则．

∴与平面所成角的正弦为．(12分）

19. 解：（1）依题意填写列联表如下：

计算，

∴没有的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关.(5分）

（2）（i）抽取的文科生人数是（人），理科生人数是（人）.(7分）

（ii）的可能取值为0，1，2，3，

则，，

，.(10分）

其分布列为

所以.(12分）

20.解：（1）由题意知F（﹣1，0），因而c＝1，即a2＝b2+1，

又两曲线在第二象限内的交点Q（xQ，yQ）到F的距离是它到直线x＝﹣4的距离的一半，即4+xQ＝2（﹣xQ+1），

得，则，代入到椭圆方程，得 ．

由，解得a2＝4，b2＝3，

∴所求椭圆的方程为． (5分）

（2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k（x+1），

由，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，

设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

则，，(7分）

由于OABM为平行四边形，得，

故，

若点M在椭圆C上，则，代入得，解得k无解；

若点M在抛物线D上，则，代入得，解得k无解．(10分）

当直线斜率不存在时，易知存在点M（﹣2，0）在椭圆C上．

故不存在直线l，使点M落在抛物线D上，存在直线l，使点M（﹣2，0）落在椭圆C上．(12分）

21． 解：（1）令，

则φ'（x）＝x+m﹣ln（x+1）﹣1，，

∴φ'（x）在[0，+∞）上单调递增，且φ'（0）＝m﹣1，

若m≥1，φ（x）在[0，+∞）上单调递增，

∴φ（x）≥φ（0）＝0，

即m≥1满足条件，

若m＜1，φ′（0）＝m﹣1＜0，φ（x）存在单调递减区间[0，x0]，又∵φ（0）＝0

所以存在x0使得φ（x0）＜0与已知条件矛盾，所以m≥1，m的最小值为1．(4分）

（2）由（1）知，如果，则必有f（x）≤g（x）成立．

令，则h（x）＝（a﹣1）x﹣xcosx＝x（a﹣1﹣cosx），

h（x）＝x（a﹣1﹣cosx）≥0，则a﹣1﹣cosx≥0，a≥1+cosx，a≥2．

若h（x）≥0，必有f（x）≤g（x）恒成立，故当a≥2时，f（x）≤g（x）恒成立，(8分）

下面证明a＜2时，f（x）≤g（x）不恒成立．

令f1（x）＝f（x）﹣x＝（x+1）ln（x+1）﹣x，f′1（x）＝ln（x+1），

当x＞0时，f′1（x）＝ln（x+1）＞0，f1（x）在区间[0，1]上单调递增，

故f1（x）≥f1（0）＝0，即f1（x）＝f（x）﹣x≥0，故x≤f（x）．

g（x）﹣f（x）≤g（x）﹣x＝＝，

令，＞0，

所以t（x）在[0，1]上单调递增，t（0）＝a﹣2＜0，则一定存在区间（0，m）（其中0＜m＜1），当x∈（0，m）时，t（x）＜0，

则g（x）﹣f（x）≤xt（x）＜0，故f（x）≤g（x）不恒成立．

综上所述：实数a取值范围是[2，+∞）．(12分）

 [选做题](10 分)

22.解：（1）曲线C的方程为x2﹣2x+y2＝0．转换为极坐标方程为：ρ＝2cosθ．

联立，得M（0，0），．(5分）

（2）易知|MN|＝1，直线．

设点P（2cosα，sinα），则点P到直线l的距离．

∴（其中 ）．

∴△PMN面积的最大值为．(10分）

23.解：（1）原不等式等价于|x﹣1|+|x+1|＜3，

当x≥1时，可得x﹣1+x+1＜3，解得1≤x；

当﹣1＜x＜1时，可得﹣x+1+x+1＜3，得2＜3成立；

当x≤﹣1时，可得﹣x+1﹣x﹣1＜3，解得x≤﹣1．

综上所述，原不等式的解集为{x|x}；(5分）

（2）f（x）＝|x﹣a|+|x+b|≥|b+a|，当且仅当（x﹣a）（x+b）≤0时等号成立．

∴f（x）的最小值为|b+a|，即|b+a|＝2．

又∵ab＞0，∴|b+a|＝|a|+|b|＝2，

∴

．

当且仅当时，等号成立，

∴的最小值为．(10分）