江西省南昌市第二中学2020届高三5月模拟数学（文）试题

南昌二中2020届下学期高三模拟测试

数学文科试卷

 一、单选题（每小题5分，共12小题，共60分）

1．设集合A={2，1-a，a2-a+2}，若4∈A，则a=（　　）

A．-3或-1或2     B．-3或-1          C．-3或2        D．-1或2

2．若复数，在复平面内对应的点在直线上，则（  ）

A．2 B． C．1 D．

3．若双曲线=的一个焦点是,则的值是

A．-1 B．1 C． D．

4．已知各项为正数的等比数列满足，，则（    ）

A．64 B．32 C．16 D．4

5．在中，、分别为、的中点，且，则（    ）

A． B． C． D．

6．如图，边长为1正方形，射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至，在旋转的过程中，记，所经过的在正方形内的区域（阴影部分）的面积为，则函数的图像是（    ）

A．B．C． D．

7．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是    

A．   B． 

C．   D．

8．已知实数，执行如图所示的流程图，则输出的不小于63

的概率为（   ）

A．      B．  

C．      D．

9．已知定义域为的函数满足：当时，，时，．若，且方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

10．已知函数.若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（   ）

A．      B． C．        D．

11.如图，棱长为的正方体中，为线段的中点，分别为线段和 棱 上任意一点，则的最小值为（    ）

A． B． 

C．1 D．

12．已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线的右支上一点，且，与轴交于点，若是的平分线，则双曲线的离心率(     )

A． B． C． D．

二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）

13.在等差数列中,公差则数列{an}的前9项之和等于_____

14．某市统计局就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示.(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示)试根据频率分布直方图求出样本数据的中位数为__________．

15.如图，在中，为边上的点，为上的点，，则__________.

16. 设M，N分别是曲线f(x)＝－x3＋x2(x<)与g(x)＝aln x(x≥)上一点，△MON是以O为直角顶点的直角三角形(其中O为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是________.

三、解答题（共60分）

17.（12分）

在中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）若等差数列的公差不为零，，且、、成等比数列，求的前项和．

四、选做题（10分）

22．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），圆的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求和的极坐标方程；

（2）过且倾斜角为的直线与交于点，与交于另一点，若，求的取值范围.

23.设函数.

（1）若存在，使得，求实数的取值范围；

（2）若是中的最大值，且，证明：.

南昌二中2020届下学期高三模拟测试

数学文科试卷参考答案

一、单选题

1．设集合A={2，1-a，a2-a+2}，若4∈A，则a=（　　）

A．-3或-1或2     B．-3或-1      C．-3或2    D．-1或2

【答案】C

【解析】

若1−a=4，则a=−3，∴a2−a+2=14，∴A={2,4,14}；

若a2−a+2=4，则a=2或a=−1，检验集合元素的互异性：

a=2时，1−a=−1，∴A={2,−1,4}；

a=−1时,1−a=2(舍)，

本题选择C选项.

2．若复数在复平面内对应的点在直线上，则（  ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】B

【解析】

分析：化简复数，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得的值，从而可得结果.

详解：因为复数，

所以复数在复平面内对应的点的坐标为，

由复数在复平面内对应的点在直线上，

可得,

,故选B.

3．若双曲线=的一个焦点是,则的值是

A．-1 B．1 C． D．

【答案】A

【解析】

双曲线=的标准方程为,

∵焦点在轴上,∴,且,

∴

故选A．

4．已知各项为正数的等比数列满足，，则（    ）

A．64 B．32 C．16 D．4

【答案】B

【解析】先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求

【详解】由得选B.

【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基本题.

5．在中，、分别为、的中点，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由向量的加减法运算，求得，进而得出，列式分别求出和，即可求得.

【详解】解：已知、分别为、的中点，

由向量的加减法运算，

得，

，

，

又，

则，则.故选：C.

6．如图，边长为1正方形，射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至，在旋转的过程中，记，所经过的在正方形内的区域（阴影部分）的面积为，则函数的图像是（    ）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】根据条件列，再根据函数图象作判断.

【详解】当时，;

当时，;

根据正切函数图象可知选D.

【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题.

7．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是    

A．B． C． D．

【答案】D

【解析】将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m的取值范围.

【详解】若不等式有解，即即可，

，，

则，

当且仅当，即，即时取等号，此时，，

即，

则由得，即，

得或，

即实数m的取值范围是，

故选D．

【点睛】

本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．

8．已知实数，执行如图所示的流程图，则输出的不小于63的概率为（   ）

A．   B．   C．   D．

【答案】B

【解析】

试题分析：运行该程序框图，第一次循环；第二次循环；第三次循环；推出循环输出，由得，由几何概型概率公式可得输出的不小于的概率为，故选B.

考点：1、程序框图及循环结构；2、几何概型概率公式.

【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.

9．已知定义域为的函数满足：当时，，时，．若，且方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】求出时的导数，可得单调区间和极值，可将在的图象每向右平移一个单位可得时的图象，由题意可得和的图象有两个交点．将直线绕着旋转考虑经过点，，可得此时的斜率，结合图象可得所求范围．

【详解】当时，的导数为，

当时，，递增；

当时，，递减，

则处取得极小值，

由时，，可将在的图象每向右平移一个单位，可得在时的图象，如图：

由方程有两个不同的实根，可得和的图象有两个交点．

又的图象为恒过定点的直线，当该直线经过点时， ；当该直线经过点时，k．

由图象可得当时，和的图象有两个交点．故选：A．

【点睛】本题考查函数方程的转化思想，考查导数的运用，以及图象平移，考查运算能力和数形结合思想的运用，属于中档题．

10．已知函数.若函数 在区间内没有零点 ， 则的取值范围是（   ）

A．  B．  C． D．

【答案】D

【解析】 ，

, 函数 在区间内没有零点

 (1) ，则 ，则 ，取 ，   ；

（2），则 ，解得： ，取 ， ；

综上可知： 的取值范围是，选.

【点睛】有关函数求的值及取值范围问题是近几年高考的重点考题，应引起足够的注意.本题首先利用降幂公式和辅助角公式把函数的解析式化为标准型，函数 在区间内没有零点，根据的范围求出的范围，使其在或在内，恰好函数无零点，求出的范围.

11.如图，棱长为的正方体中，为线段的中点，分别为线段和 棱 上任意一点，则的最小值为（    ）

A．   B． C．1   D．

【答案】C

【解析】首先连接，过作，连接，过作.根据面面垂直的性质得到平面，即.再根据相似三角形得到，，即.再将转化为，求其最小值即可.

【详解】

连接，过作，连接，过作.

因为平面平面，

所以平面.   因为平面，所以.

所以.   又因为，所以.

即.   因为，所以.

在中，.

因为，所以.

即，.

所以.

即的最小值为    故选：C

12．已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线的右支上一点，且，与轴交于点，若是的平分线，则双曲线的离心率(     )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先利用角平分线及得到三角形相似，进而得到，再根据角平分线定理也可得到，列方程即可求出离心率．

【详解】

如图：

由题意得：，所以，

又，所以，

又是的平分线，所以，

所以，所以，

即，所以，

由角平分线定理知，，则，

所以，所以，

故．

故选：C．

二、填空题

13.在等差数列中,公差则数列{an}的前9项之和等于_____

【答案】90

【解析】

【分析】

先利用等差数列的性质列方程组求出和的值，并求出和公差的值，再利用等差数列前项和公式可求出数列的前项之和。

【详解】

等差数列的公差，则，由等差数列的性质可得，

由，可得，，解得，

因此，等差数列的前项和为，故答案为：。

【点睛】

本题考查等差数列的求和问题，求解等差数列问题时，一般常用以下两种方法：

（1）性质法：序数之和相等，项的和相等；

（2）基本量法：将已知条件转化为与首项、公差的方程组，求出这两个基本量，利用这两个基本量计算。

灵活使用这两种方法求解等差数列的问题，能起到简化计算的作用。

14．某市统计局就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示.(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示)试根据频率分布直方图求出样本数据的中位数为__________．

【答案】

【解析】确定中位数在之间，设为，则，计算得到答案.

【详解】根据频率分布直方图知：

，，.

故中位数在之间，设为，则，

解得.

故答案为：.

15.如图，在中，为边上的点，为上的点，，则__________.

【答案】2

【解析】根据正弦定理得到，计算，化简得到答案.

【详解】

设.在中，，，

由正弦定理得：，即，

在中，，由正切定义：，

在中，，，由余弦定义：，

∴.

故答案为：.

16. 设M，N分别是曲线f(x)＝－x3＋x2(x<)与g(x)＝aln x(x≥)上一点，△MON是以O为直角顶点的直角三角形(其中O为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是________.

答案　(0，]

解析　∵△MON是以O为直角顶点的直角三角形，

且斜边的中点恰好在y轴上，

∴M，N两点的横坐标互为相反数，

设M(－t，t3＋t2)，

N(t，aln t)(t≥)，

由题意知·＝0，

有－t2＋(t2＋t3)·aln t＝0，

整理得＝(t＋1)ln t(t≥)，

令h(x)＝(x＋1)ln x(x≥)，

则h′(x)＝ln x＋1＋＞0，

∴h(x)在[，＋∞)上是增函数，

∴h(t)≥h()＝，

∴≥，

解得0＜a≤.

三、解答题

17.在中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）若等差数列的公差不为零，，且、、成等比数列，求的前项和．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）由根据正弦定理可得，由余弦定理可得，从而可得结果；（2）由（1）可得，再由、、成等比数列，列方程求得公差，从而得，则，利用裂项相消法可得结果.

【详解】

（1）由       得  

，所以  

又             

（2）设的公差为，由（1）得，且，

∴．又，∴，∴．

∴

 ∴

.

22．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），圆的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求和的极坐标方程；

（2）过且倾斜角为的直线与交于点，与交于另一点，若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）直接利用转换公式，把参数方程，直角坐标方程与极坐标方程进行转化；

（2）利用极坐标方程将转化为三角函数求解即可.

【详解】

（1）因为，所以的普通方程为，

又，，，

的极坐标方程为，

的方程即为，对应极坐标方程为.

（2）由己知设，，则，，

所以，

   又，，

当，即时，取得最小值；

当，即时，取得最大值.

所以，的取值范围为.

23.设函数.

若存在，使得，求实数的取值范围；

若是中的最大值，且，证明：.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）求得函数，因为存在，使得，可得。进而求得m的取值范围。

（2）由（1）知，则；利用公式分解，可得；而 ，因而可得，得证。

【详解】

（1）

存在，使得

（2）由（1）知:                                       

而   ①  

        ② 

由①②