江西省上饶市2020届高三第三次模拟考试 数学（理）
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数学(理科)试题卷
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效。
第I卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|<2}，B＝{x|x≤5}，则A∩B＝
A.{x|x≤5} B.{x|3≤x≤5} C.{x|3≤x<7} D.{x|3<x≤5}
2.设复数z满足zi＝1＋2i(为虚数单位)，则z在复平面内所对应的点所在的象限是
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.(－1)5的展开式中项的系数为
A.－5 B.－10 C.5 D.10
4.执行如图的程序框图，若输入x＝，则输出的值为
A.5 B.7 C.9 D.15
5.若，则
A. B. C. D.
6.已知等差数列{an}的前项和为Sn，且，则
A. B. C. D.
7.将曲线x2＋y2＝|x|＋|y|围成的区域记为I，曲线|x|＋|y|＝1围成的区域记为II，在区域I中随机取一点，此点取自区域II的概率为
A. B. C. D.
8.在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算。算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，算筹有纵式和横式两种，如图是利用算筹表示1～9的数字，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，例如，137可以用7根小木棍表示“”，则用6根小木棍(要求用完6根)能表示不含“0”且没有重复数字的三位数的个数是
A.12 B.18 C.24 D.27
9.已知函数f(x)＝－x2＋2＋cos(x∈[－π，π])，则不等式f(x＋1)－f(2)>0的解集为
A.[－π,－3)∪(1,π] B.[－π,－1)∪(3,π] C.(－3,1) D.(－1,3)
10.半径为2的球O内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为
A.9 B.12 C.16 D.18
11.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1,F2，过F1作斜率为的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，若|AF2|＝|BF2|，则双曲线的离心率为
A.2 B. C. D.
12.已知函数y＝ex＋和函数(a∈R)，关于这两个函数图像的交点个数，下列四个结论：①当时a<2，两个函数图像没有交点；②当时，两个函数图像恰有三个交点；③当2<a<时，两个函数图像恰有两个交点；④当a>时，两个函数图像恰有四个交点。正确结论的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
第II卷
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分。
13.对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，…，如表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽前所需培育的天数的众数是________。中位数是________(本题第一空2分，第二空3分)
14.若实数x，y满足条件，则z＝3x＋2y的最大值为________。
15.在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的一个动点。若，则2x＋y的取值范围是________。
16.正方形ABCD的两个顶点A,B在直线x＋y－4＝0上，另两个顶点C,D分别在直线2x－y－1＝0，4x＋y－23＝0上，那么正方形ABCD的边长为________。
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.(本小题满分12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足sin2C＋2sin2C＝，C为锐角。
(1)求角C的大小；
(2)若cos∠BAC＝－，点D为边BC上的动点(不与C点重合)，设AD＝λDC，求λ的取值范围。
18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC//AD，∠BAD＝，PA＝AB＝BC＝2，AD＝4，点M是棱PD的中点。
(1)求证：CM//平面PAB；
(2)求二面角M－AC－D的大小。
19.(本小题满分12分)为了释放学生压力，某校高三年级一班进行了一个投篮游戏，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮)。在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置上，甲先投。每人投一次篮，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得－1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分。设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响。
(1)经过1轮投篮，记甲的得分为X，求X的分布列及期望；
(2)若经过n轮投篮，用pi表示第i轮投篮后，甲的累计得分低于乙的累计得分的概率。
①求p1·p2·p3；
②规定p0＝0，经过计算机模拟计算可得pi＝api＋1＋bpi－1(i≥l，i∈N)，请根据①中p1·p2·p3值求出a,b的值，并由此求出数列{pn}的通项公式。
20.(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C上的点到准线的最小距离l。
(1)求抛物线C的方程：
(2)若过点F作互相垂直的两条直线l1、l2，l1与抛物线C交于A，B两点，l2与抛物线C交于C，D两点，M，N分别为弦AB，CD的中点，求|MF|·|NF|的最小值。
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋lnx2(a∈R)。
(1)讨论函数f(x)的单调区间情况；
(2)若函数f(x)＝ax＋lnx2(a≠0)有且只有两个零点x1，x2，证明：e－1<|x1＋x2|<e－。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，共10分。
22.[选修4－4坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，将曲线C上各点纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到曲线C1。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为4ρcosθ＋3ρsinθ－10＝0。
(1)写出曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；
(2)曲线C1上是否存在不同的两点M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)(以上两点坐标均为极坐标，ρ1>0，ρ2>0，0≤θ1<2π，0≤θ2<2π)，使点M、N到l的距离都为1?若存在，求出|θ1－θ2|的值；若不存在，请说明理由。
23.[选修4－5：不等式选讲](10分)设函数f(x)＝cosx＋|a－2|＋|a＋1|。
(1)若f()>，求实数a的取值范围；
(2)证明：对于任意的x∈R，f(x)≥|a－2|－|－1|成立。
