江西省宜春市2020届高三5月模拟考试 数学（理）

宜春市2020届高三年级模拟考试数学(理)试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x||x|>x}，B＝{－1，0，1，2}，则A∩B＝

A.{－1，0}     B.{－1}     C.{2，3}     D.{0，2，3}

2.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若b＝2acosC，则此三角形一定是

A.正三角形     B.直角三角形     C.等腰三角形     D.等腰或直角三角形

3.已知函数f(x)在x0处的导数为f'(x0)，则等于

A.mf'(x0)     B.－mf'(x0)     C.－mf'(x0)     D.mf'(x0)

4.在(2x＋y)(x－y)5的展开式中，x4y2的系数为

A.－20     B.－10     C.15     D.5

5.函数f(x)＝2020x＋sin(2020x)，若满足f(x2＋x)＋f(1－m)≥0恒成立，则实数m的取值范围为

A.[1，＋∞)     B.(－∞，]     C.[2，＋∞)     D.(－∞，1]

6.在新冠肺炎疫情期间，某医院有10名医生报名参加“援鄂医疗队”，其中有3名女医生。现从中抽选5名医生，用X表示抽到男医生的人数，则X＝3的概率为

A.     B.     C.     D.

7.元朝著名的数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走。遇店添一倍，逢友饮一斗。”基于此情景，设计了如图所示的程序框图，若输入的x＝，输出的x＝9，则判断框中可以填

A.k>4     B.k>5     C.k>6     D.k>7

8.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E是BC边上一点且，F是AE的中点，则下列关系式不正确的是

A.     B.

C.     D.

9.己知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，BC＝2，CD＝PC＝PD＝2，若点M为PC的中点，则下列说法正确的个数为

(1)PC⊥平面ADM    (2)四棱锥M－ABCD的体积为12

(3)BM//平面PAD     (4)四棱锥M－ABCD外接球的表面积为36π

A.1个     B.2个     C.3个     D.4个

10.太极图被称为“中华第一图”。从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫标记物：从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗……太极图无不跃居其上。这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”。在某个太极图案中，阴影部分可

表示为A＝{(x，y)|x2＋(y－1) 2≤1或，设点(x，y)∈A，则z＝3x＋4y的最大值与最小值之差为

A.19     B.18     C.－1     D.20

11.已知定义在[0，]上的函数f(x)＝sin(ωx－)(ω>0)的最大值为，则正实数ω的取值个数最多为

A.4     B.3     C.2     D.1

12.已知抛物线C方程为x2＝4y，F为其焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，则|AP|·|BQ|的取值范围为

A.(，＋∞)     B.[2，＋∞)     C.(2，＋∞)     D.[0，2)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为       。

14.若复数Z满足方程x2－4x＋5＝0，且在复平面内对应的点位于第一象限，则Z＝       。

15.己知数列{an}中a1＝11，an＋1＝an＋，若对任意的m∈[1，4]，任意的n∈N*使得an<t2＋mt恒成立，则实数t的取值范围是       。

16.已知不等式x＋mlnx＋≥xm对xr∈(1，＋∞)恒成立，则实数m的最小值为       。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选做题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)已知{an}为等比数列，且各项均为正值，a2＝，a4a6＝16a3a9。

(1)求数列{an}的通项公式：

(2)若bn＝log4an，数列{}的前n项和为Tn，求Tn。

18.(12分)如图，四棱锥E－ABCD的侧棱DE与四棱锥F－ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB＝3，AD＝CD＝4，AE＝5，AF＝3。

(1)证明：DF//平面BCE：

(2)在棱AF上是否存在点M，使平面ABF与平面CDM所成角的正弦值为?如果存在，指出M点的位置：如果不存在，请说明理由。

19.(12分)已知函数f(x)＝e2x－a，g(x)＝ex－b，且f(x)与g(x)的图象有一条斜率为1的公切线(e为自然对数的底数)。

(1)求b－a；

(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)－mx＋－，证明：当m>1时，h(x)有且仅有2个零点。

20.(12分)己知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点P是椭圆C上的一个动点，且△PF1F2面积的最大值为。

(1)求椭圆C的方程；

(2)椭圆C与x轴交于A、B两点，直线AP和BP与直线l：x＝－4分别交于点M，N，试探究以MN为直径的圆是否恒过定点，若是，求出所有定点的坐标；若否，请说明理由。

21.(12分)超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷甚至死亡。某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n(n∈N*)份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：(1)逐份检验，则需要检验n次：(2)混合检验，将其中k(k∈N*且k≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竞哪儿份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k＋1次。假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是用性结果的概率为p(0<p<1)。现取其中k(k∈N*且k≥2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2。

(1)运用概率统计的知识，若E(ξ1)＝E(ξ2)。试求p关于k的函数关系式p＝f(k)；

(2)若P与抗生素计量xn相关，其中x1，x2，…，xn(n≥2)是不同的正实数，满足x1＝1，对任意的n∈N*(n≥2)，都有。

(i)证明：{xn}为等比数列；

(ii)当p＝1－时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值。

参考数据：ln2≈0.6931，ln3＝1.0986，ln4≈1.3863，ln5≈1.6094，ln6＝1.7918，ln7≈1.9459，ln8≈2.0794，ln9≈2.1972，ln10≈2.3026

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)。以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，且直线l与曲线C交于M、N两点。

(1)求直线l的普通方程以及曲线C的直角坐标方程；

(2)若曲线C外一点A(m，n)恰好落在直线l上，且|AM|＋|AN|＝3，求m，n的值。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

已知函数f(x)＝|x－m|＋|2x＋|(m>2)。

(1)若m＝4，求不等式f(x)>5的解集；

 (2)问：是否存在最小值?若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。

2020年宜春市高三（理）统考试卷答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.        14.2-i         15.      16.-e

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（1）设数列的公比为.由得，所以

由条件可知，故，由，得2分

故数列的通项公式为；..4分

（2）.

故      8分

.所以数列的前项和.     .12分

.

(2)以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，3，0），

F（4，3，--3），C（0，4，0）

则

令，则

设平面CDM的法向量，则

即，得

又平面ABF的法向量，

设平面ABF与平面CDM的夹角为，则

，则

即：M点与F点重合时满足题意..12分

19.（1）可得..2分

在处的切线方程为，即.

..4分

在处的切线方程为即，

故

可得6分

（2）证明：由（1）可得，

，..8分

令，则，

，

时，有两根且，

，

得：，

在上，，

在上，，..10分

此时，.

又时，时，.

故在和上，各有1个零点.

所以时，有2个零点12分

20.（1）∵椭圆的离心率为，当为的短轴顶点时，

的面积有最大值.   1分

∴,解得， .3分

故椭圆的方程为：.    ..4分

（2）不妨设、，

则，.6分

设：，∴：，

所以           ，            ，  8分

以为直径的圆是                             ，

令，      ，      ，

以，为直径的圆恒过和.   12分

21.（Ⅰ）当进行逐份检验时，；

 当进行混合检验时，

则

，

则即.4分

（Ⅱ）（1）当时，有

则猜想：

下面用数学归纳法进行证明：

当时，满足

假设当时，

则当时，

设，则

整理可得：

由可得：对一切都成立。

即为等比数列..8分

（2）依题可知：

由（1）可知：

令，则

所以在[2，4）上单调递增，在上单调递减

则的最大值为812分

22.（1）直线；曲线C：.4分

(2)直线的参数方程为：代入曲线方程得：

设M,N对应的参数分别为：则

..10分

22、（1）依题意：|x-4|+|2x+1|>5

（2）依题意：

则

当且仅当

                                 .10分