江西省宜春市2020届高三5月模拟考试 数学（文）
展开宜春市2020届高三年级模拟考试数学(文)试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合M＝{x|－2<x<3}，N＝{x|2x＋1≥1}，则M∩N＝
A.(3，＋∞) B.(－1，3) C.[－1，3) D.(－2，－1]
2.若复数z＝，则z的虚部是
A.－1 B.1 C.－i D.i
3.高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为x1，x2，x3，…，x100，它们的平均数为，方差为s2；其中扫码支付使用的人数分别为2x1＋3，2x2＋3，2x3＋3，…，2x100＋3，它们的平均数为，方差为s'2，则，s'2分别为
A.2＋3，，2s2＋3 B.2，2s2 C.2＋3，4s2＋3 D.2＋3，4s2
4.明朝数学家程大位将“孙子定理”(也称“中国剩余定理”)编成易于上口的《孙子口诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知。己知正整数n被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n的最小值。按此口诀的算法如图，则输出n的结果为
A.53 B.54 C.158 D.263
5.已知||＝1，||＝6，·(－)＝2，则向量与的夹角是
A. B. C. D.
6.已知等差数列{an}中，a1＝1，前10项的和等于前5的和，若am＋a7＝0，则m＝
A.10 B.9 C.8 D.2
7.函数f(x)＝sinx＋ln|x|在区间[－3，3]的图像大致为
8.设m＝log0.30.6，n＝log20.6，则
A.m－n>mn>m＋n B.mn>m－n>m＋n C.m－n>m＋n＝mm D.m＋n>m－n＝mn
9.将函数(f(x)＝sin(2x＋)的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移m(m>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象。若g(x)为偶函数，则m的最小值为
A. B. C. D.
10.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f'(x)≤0，则必有
A.f(0)＋f(2)<2f(1) B.f(0)＋f(2)≤2f(1) C.f(0)＋f(2)≥2f(1) D.f(0)＋f(2)>2f(1)
11.已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点。以F为圆心，OF为半径作圆F，圆F与C的渐近线交于异于O的A，B两点。若|AB|＝|OF|，则C的离心率为
A. B. C. D.2
12.己知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－ax＋2a存在零点，则实数a的取值范围为
A.[－，e3] B.(－∞，－]∪[e3，＋∞)
C.[－，] D.(－∞，－]∪[e2，＋∞)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若曲线＝mx2在点(1，m)处的切线与直线x－4y＋5＝0垂直，则m＝ 。
14.在区间(－1，1)内随机取两个数m，n，则关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0有实数根的概率为 。
15.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是小a、b、c，若 ，则∠C的大小为 。
16.如图所示。某几何体由底面半径和高均为3的圆柱与半径为3的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个正四棱柱，且正四棱柱的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则正四棱柱体积的最大值为 。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选做题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(12分)等差数列{an}中，公差d≠0，a5＝14，a32＝a1a11。
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn。
18.(12分)在某市“创全国文明城市”(简称“创文”)活动中，市教育局对本市A，B，C，D四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽查了200人，将调查情况进行整理后制成下表：
假设每名高中学生是否参与“创文”活动是相互独立的。
(1)若本市共8000名高中学生，估计C学校参与“创文”活动的人数；
(2)在上表中从A，B两校没有参与“创文”活动的同学中随机抽取2人，求恰好A，B两校各有1人没有参与“创文”活动的概率；
(3)在随机抽查的200名高中学生中，进行文明素养综合素质测评(满分为100分)，得到如上的频率分布直方图，其中a＝4b。求a，b的值，并估计参与测评的学生得分的中位数。(计算结果保留两位小数)。
19.(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，△PAC为正三角形，M为枝PA的中点，AB⊥AC，AC＝BC，平面PAB⊥平面PAC。
(1)求证：AB⊥平面PAC；
(2)若AC＝2，求三棱锥P－BMC的体积。
20.(12分)已知函数f(x)＝(ax－sinx－1)·ex(a∈R)，f'(x)是其导函数。
(1)当a＝1时，求f(x)在x＝0处的切线方程；
(2)若a≥1，证明：f'(x)在区间(0，π)内至多有1个零点。
21.(12分)已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，且过点P(1，)。
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F2的直线l交椭圆C于A，B两点，过A作x轴的垂线交椭圆C与另一点Q(Q不与A，B重合)。设△ABQ的外心为G，求证为定值。
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝θ0，(ρ∈R)。
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)设直线l与曲线C相交于不同的两点P1，P2，指出θ0的范围，并求的取值范围。
23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知a，b，c为正数，且满足a＋b＋c＝3。
(1)证明：≤3；
(2)证明：9ab＋bc＋4ac≥l2abc。
宜春市2020届高三模拟考试数学（文科）试卷
参考答案
一、选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | A | D | A | C | B | C | C | D | B | C | B |
二、填空题
13． -2 14．
15．16.64
三、解答题
17.（12分）
解：（1）∵是等差数列，公差，，，
可得，，解得，，……………3分
所以的通项公式.…………………………5分
（2），…………………………9分
数列的前项和
.…………………………12分
18．（12分）
解：（1）C学校高中生的总人数为，
C学校参与“创文”活动的人数为．…………………………4分
（2）A校没有参与“创城”活动的这1人记为，B校没有参与“创文”活动的这5人分别记为，任取2人共15种情况，如下：，这15种情况发生的可能性是相等的．…………………………6分
设事件N为抽取2人中A，B两校各有1人没有参与“创文”活动，有，共5种情况．
则．故恰好A，B两校各有1人没有参与“创文”活动的概率为．…………………………8分
（3）依题意，，所以．
又，所以，．…………………………10分
因为，所以中位数在第三组，
所以中位数为．…………………………12分
19．（12分）
证明：（1）为等边三角形，且为的中点，.
平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，.…………………………3分
又，，、平面，平面；…………………………6分
（2），且，，.
又是边长为的等边三角形，且为的中点，则，………8分
且，的面积为.
因此，三棱锥的体积为.
…………………………12分
20．（12分）
解：（1）当时，，则，………2分
又，则在处的切线方程为：，即．……4分
（2），
又，设，，
，………………………6分
因，故，
又，故对恒成立，即在区间单调递增；…………8分
又，；
故当时，，此时在区间内恰好有个零点．…10分
当时，，此时在区间内没有零点；
综上结论得证．…………………………12分
21.（12分）
解：（1）由题意知，…………………………2分
将P点坐标代入椭圆方程得，解得，
所以椭圆方程为.…………………………4分
（2）由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线为，
代入椭圆方程得.
设，则，……………6分
所以的中点坐标为，
所以.………………8分
因为G是的外心，所以G是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点，
的垂直平分线方程为，
令，得，即，所以，…………………………10分
所以，所以为定值，定值为4.……………………12分
（二）选考题：
22.（10分）
解：（1）将曲线的参数方程，消去参数，
得.…………………………2分
将及代入上式,得.…………4分
（2）依题意由知.
将代入曲线的极坐标方程,得.
设,则，.…………6分
所以.……8分
因为,所以,则,
所以的取值范围为.…………………………10分
23. （10分）
（1）证明：.
（2）证明：.
证明：（1）因为，为正数，所以，
同理可得，，……………………2分
所以，
当且仅当时，等号成立
故. …………………………5分
（2）要证，只需证
即证，
即证，
即证.
因为，，， ………………8分
所以，
当且仅当，，时，等号成立，从而得证.
…………………………10分
