海南省海口市2020届高三高考模拟演练数学试题

2020年海口市高考模拟演练数学试卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等信息填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（    ）A． B． C． D．2．已知复数，则其共轭复数（    ）A． B． C． D．3．已知向量，，，则（    ）A．-2 B．-1 C．1 D．24．《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为N，则的整数部分为（    ）A．2566 B．2567 C．2568 D．25695．一个底面边长为3的正三棱锥的体积与表面积为24的正方体的体积相等，则该正三棱锥的高为（    ）A． B． C． D．126．已知直线与圆相交所得弦长为4，则（    ）A．-9 B．1 C．1或-2 D．1或-97．设p：“函数在上单调递减”，q：“，”，则p是q的（    ）A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件8．若对任意，都有，则满足条件的有序实数对的对数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知正项等比数列满足，，若设其公比为q，前n项和为，则（    ）A． B． C． D．10．已知双曲线的离心率，C上的点到其焦点的最短距离为1，则（    ）A．C的焦点坐标为B．C的渐近线方程为C．点在C上D．直线与C恒有两个交点11．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：所需时间（分钟）30405060线路一0.50.20.20.1线路二0.30.50.10.1则下列说法正确的是（    ）A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.0412．如图，在直三棱柱中，，，点D，E分别是线段BC，上的动点（不含端点），且．则下列说法正确的是（    ）A．平面 B．该三棱柱的外接球的表面积为C．异面直线与所成角的正切值为D．二面角的余弦值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行，本届冬奥会比赛共设15个项目，其中包含5个冰上项目和10个雪上项目．李华计划从中选1个冰上项目和2个雪上项目去现场观看，则共有_________种不同的选法．14．已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边上有一点，则__________．15．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点．若，且的面积为，则__________．16．已知函数的图象关于点对称，则__________，若对于总有成立，则a的取值范围是__________．（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①，，②，，③，三组条件中任选一组补充在下面问题中，并加以解答．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，__________，求b．18．（12分）已知等差数列的前n项和为，满足，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求数列的前n项和．19．（12分）如图，三棱锥中，，是正三角形，且平面平面ABC，，E，G分别为AB，BC的中点．（Ⅰ）证明：平面ABD；（Ⅱ）若F是线段DE的中点，求AC与平面FGC所成角的正弦值．20．（12分）某病毒研究所为了研究温度对某种病毒的影响，在温度t（℃）逐渐升高时，连续测20次病毒的活性指标值y，实验数据处理后得到下面的散点图，将第1～14组数据定为A组，第15～20组数据定为B组．（Ⅰ）某研究员准备直接根据全部20组数据用线性回归模型拟合y与t的关系，你认为是否合理？请从统计学的角度简要说明理由．（Ⅱ）若根据A组数据得到回归模型，根据B组数据得到回归模型，以活性指标值大于5为标准，估计这种病毒适宜生存的温度范围（结果精确到0.1）．（Ⅲ）根据实验数据计算可得：A组中活性指标值的平均数，方差；B组中活性指标值的平均数，方差．请根据以上数据计算全部20组活性指标值的平均数和方差．21．（12分）已知椭圆的左顶点为A，O为坐标原点，，C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知不经过点A的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的中点为B，若，求证：直线l过定点．22．（12分）已知函数，其中．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若，讨论关于x的方程在区间上实根的个数．2020年海口市高考模拟演练数学答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．【答案】D【命题意图】本题考查集合的表示及运算．【解析】依题意，，所以，所以．2．【答案】B【命题意图】本题考查复数的基本运算和共轭复数的概念．【解析】因为，所以．3．【答案】A【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算．【解析】因为，，所以，因为，所以，解得．4．【答案】B【命题意图】本题考查对数的有关运算．【解析】由题可知，．因为，所以，所以的整数部分为2567．5．【答案】C【命题意图】本题考查空间几何体的有关运算．【解析】因为正方体的表面积为24，所以棱长为2，其体积为．因为正三棱锥的体积与正方体的体积相等，设正三棱锥的高为h，所以，解得．6．【答案】D【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系．【解析】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为，直线与圆相交所得弦长为4，所以，所以，解得或．7．【答案】B【命题意图】本题考查充分条件和必要条件的判断．【解析】因为函数在上单调递减，所以，即．因为时，，所以“，”等价于，即，因为集合，所以p是q的必要不充分条件．8．【答案】C【命题意图】本题考查三角函数的性质．【解析】，由条件知．若，由且，得；若，，则，所以，又，则．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9．【答案】ABD【命题意图】本题考查等比数列的有关计算．【解析】由题意，得，解得（负值舍去），选项A正确；，选项B正确；，所以，选项C错误；，而，选项D正确．10．【答案】BC【命题意图】本题考查双曲线的标准方程和性质．【解析】由已知得所以所以，所以双曲线C的方程为．所以C的焦点为，A错误．C的渐近线方程为，所以B正确．因为，所以点在C上，选项C正确．直线即，恒过点，当时，直线与双曲线C的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点．11．【答案】B【命题意图】本题考查事件与概率的概念，及概率的应用．【解析】“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，A错误；线路一所需的平均时间为分钟，线路二所需的平均时间为分钟，所以线路一比线路二更节省时间，B正确；线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，C错误；所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为，和三种情况，概率为，D正确．12．【答案】AD【命题意图】本题考查立体几何中的关系和计算．【解析】在直三棱柱中，四边形是矩形，因为，所以，所以平面，A项正确．因为，所以，因为，所以，所以，易知是三棱柱外接球的直径，所以三棱柱外接球的表面积为，所以B项错误．因为，所以异面直线与所成角为．在中，，，所以，所以C项错误．二面角即二面角，以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，故二面角的余弦值为，所以D项正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】225【命题意图】本题考查排列组合的应用．【解析】不同的选法有种．14．【答案】-4【命题意图】本题考查三角函数的定义、三角恒等变换．【解析】因为角的终边上有一点，所以．所以．15．【答案】2【命题意图】本题考查抛物线的标准方程和性质．【解析】由条件知，所以，所以，由抛物线的准线为，及抛物线的定义可知，P点的横坐标为，不妨设点P在x轴上方，则P的纵坐标为，所以，解得．16．【答案】1；【命题意图】本题考查函数的性质与图象、导数的应用．【解析】由条件知的图象可由奇函数的图象上下平移得到，所以的图象关于点对称，所以．所以．当时，恒成立．当时，等价于．设，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【命题意图】本题考查解三角形、正弦定理和余弦定理的应用．【解析】（方法一）选①：，．因为，，所以．由，解得．由余弦定理得，所以．（方法二）选②：，．因为，，所以．因为，所以．所以，由正弦定理可得．所以，所以．（方法三）选③：，．因为，得．又因为，所以．因为，，所以，且．根据正弦定理，可得．所以，解得．18．【命题意图】本题考查等差数列的基本运算以及数列求和．【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d．由题意得解得所以．（Ⅱ）由题意得，．19．【命题意图】本题考查线面垂直的证明及空间角的计算、空间向量的应用．【解析】（Ⅰ）因为E，G分别为AB，BC的中点，所以．因为，平面平面ABC，平面平面，所以平面ABD．所以平面ABD．（Ⅱ）因为是正三角形，所以．又由（Ⅰ）知平面ABD，即EG，AB，DE两两垂直，则以E为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，是正三角形，所以，，，，，．因为F是DE的中点，所以．，，．设平面FGC的一个法向量为，所以令，则，，所以．设AC与平面FGC所成的角为，则．20．【命题意图】本题考查线性回归分析的基本思想和应用，以及平均数与方差的计算公式．【解析】（Ⅰ）不合理．从散点图上看：①A组数据呈正相关，B组数据呈负相关，两部分数据的变化趋势明显不同，不适合用同一个线性模型来拟合．②20个样本点的分布比较分散，没有明显的沿直线分布的趋势，故不适合用线性回归模型来拟合．（以上给出了2种理由，答出任意一种或其他合理理由均可得分）（Ⅱ）令，得；令，得．由散点图可知，这种病毒的活性指标值先随温度升高而升高，到达一定温度后，开始随温度升高而降低，所以这种病毒适宜生存的温度范围是．（Ⅲ）全部20组活性指标值的平均数为．因为，，所以全部20组活性指标值的方差为．21．【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和性质．【解析】（Ⅰ）由已知，所以，设椭圆C的半焦距为c．因为，所以，所以，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）由题意知．联立得．由题意知，．（*）设，，则，．因为，B为线段MN的中点，所以，所以．又，，，所以，所以．整理得，得或．当时，l的方程为，过定点，不符合题意；当时，l的方程为，过定点，经检验，符合（*）式．综上所述，直线l过定点．22．【命题意图】本题考查导数在研究函数中的应用．【解析】（Ⅰ）由条件，得令，得．当时，由，得，由，得．所以的单调增区间是，单调减区间是．当时，由，得，由，得．所以的单调增区间是，单调减区间是．（Ⅱ）因为，所以是方程的实根．当时，由（Ⅰ）知单调递增，所以．而，所以方程在区间上无实根．当时，．设，则．设，当时，，所以在上单调递增．①当，即时，在区间上，总有，从而，所以在上单调递增，，即原方程在上无实根．②当，即时，因为，所以存在，满足．所以在上，，单调递减，在上，，单调递增．又因为，，所以当，即时，原方程在上有唯一实根，当，即时，原方程在上无实根；综上所述，当或时，原方程在上仅有一个实根；当时，原方程在上有两个实根．