河北省石家庄市2020届高三高考模拟数学（文）试题

2020届高三五月模拟考试（二）

文科数学试题

一、选择题

1.已知集合，则集合（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

化简集合，按交集的定义，即可求解.

【详解】由题意知，故.

故选：B．

【点睛】本题考查集合间的运算，注意对数函数的定义域，属于基础题.

2.命题：“”的否定形式为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据全称命题的否定形式，即可得出结论.

【详解】命题：“”的否定形式

，.

故选：A．

【点睛】本题考查命题的否定，要注意量词间的相互转化，属于基础题,

3.已知是虚数单位，且，则的共轭复数在复平面内对应的点在（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

根据复数的代数形式的除法运算求出，从而得到的共轭复数，再根据复数的几何意义判断复数在复平面所对应的点所在象限；

【详解】解：，则，所以对应点的坐标为在第二象限，

故选：B．

【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，复数的几何意义，属于基础题.

4.已知条件：①是奇函数；②值域为；③函数图象经过第一象限．则下列函数中满足条件的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据选项分别讨论函数的定义域，奇偶性，值域，判断选项.

【详解】A定义域不关于原点对称，不符合题意：B选项虽然为奇函数，但是，故，不符合题意：C选项，，不符合题意：D．选项，故为奇函数，值域为，图象也经过第一象限，符合题意．

故选：D

【点睛】本题考查判断函数的性质，属于基础题型，需熟练掌握学习过的函数性质.

5.在中，角的对边分别为，若，则的面积为（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据正弦定理边角互化，得到，再根据余弦定理求角，最后代入三角形面积公式求解.

【详解】根据正弦定理知化为为，即，故，故，则．因为，的面积．

故选:B

【点睛】本题考查正余弦定理，三角形面积解三角形，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型.

6.已知实数x，y满足不等式，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据约束条件画出可行域，目标函数转化为点与连线的斜率，从而求出其最大值.

【详解】根据约束条件画出可行域，

图中阴影部分为可行域，

目标函数，

表示可行域中点与连线的斜率，

由图可知点与连线的斜率最大，

故的最大值为，

故选：C.

【点睛】本题考查线性规划求分式型目标函数的最大值，属于中档题.

7.在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据三角函数的定义求出，，再利用三角函数变换展开求值.

【详解】由题意知，则．

故选：A

【点睛】本题考查三角函数的定义，三角函数给值求值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型，本题的关键是三角变换.

8.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数分别记为，则满足的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

首先由题意抽象出阳数和阴数包含哪些数字，并通过列举的方法列举的基本事件的个数，并求对立事件的概率.

【详解】因为阳数：1，3，5，7，9，阴数：2，4，6，8，10，所以从阳数和阴数中各取一数共有：种情况．

满足有，共9种情况，故满足的情况有16种，故根据古典概型得满足的概率为．

故选：C

【点睛】本题考查数学文化，古典概型，属于基础题型，本题的关键读懂题意，并转化为典型的古典概型.

9.某高校组织若干名学生参加自主招生考试（满分150分），学生成绩的频率分布直方图如图所示，分组区间为：，其中成等差数列且．该高校拟以成绩的中位数作为分数线来确定进人面试阶段学生名单，根据频率分布直方图进人该校面试的分数线为（    ）

A. 117 B. 118 C. 119 D. 120

【答案】C

【解析】

【分析】

由频率和为1，以及已知条件，求得的值，再根据中位数左边的矩形面积和为0.5，计算中位数.

【详解】由于，解得，前三个组的频率之和为，第四个组的频率为0.2，故中位数为（分）．

故选：C

【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，重点考查中位数，频率，属于基础题型.

10.如图，在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值是（    ）

A.  B. 5 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据已知先求出圆的半径，由，结合向量数量积运算律，的最大值转化为求的最大值，再由向量的数量积公式，即可求出结论.

【详解】由题意知，设到的距离为，

则有，

故，

其中，

设的夹角为，

，

当且仅当与同向时，等号成立；

所以的最大值为.

故选：A．

【点睛】本题考查向量的线性关系的几何表示、向量数量积及其最值，考查计算求解能力，属于中档题.

11.函数的相邻两条对称轴间的距离为的图象与轴交点坐标为，则下列说法不正确的是（    ）

A. 是的一条对称轴 B.

C. 在上单调递增 D.

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根据二倍角公式化简函数，由周期求，以及根据求的值，求得，并根据函数性质，依次判断选项.

【详解】由题意知，由周期为，知；

又因为，

即，．

所以，

所以B,D正确

当时，，是函数的对称轴，所以A正确；

当时，

此时当时，函数单调递增，当时函数单调递减，

所以C不正确.

故选：C

【点睛】本题考查三角恒等变换，根据函数性质求函数的解析式，以及判断三角函数的性质，属于中档题型，本题的关键是正确求得函数的解析式，并会根据选项判断函数性质.

12.已知函数对于任意，均满足，当时，，（其中为自然对数的底数），若存在实数满足，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据条件判断函数关于对称，并根据函数的解析式画出函数的图象，根据对称性可判断，即，并且，所以，并由函数图象计算求得，利用导数求得函数的取值范围.

【详解】由知关于对称，如图，因此，所以，又因为，所以，因此，由题意知，令，，令得，故在上单调递减，在上单调递增，故，由，则，故，

故选：D

【点睛】本题考查导数，函数性质，函数图象的综合应用，重点考查导数研究函数的单调性，最值，数形结合分析问题的能力，函数与方程思想的应用，属于中档偏难题型，本题的关键是转化，并根据数形结合得到条件.

二、填空题

13.已知函数的图象在和处的切线互相垂直，则________.

【答案】

【解析】

【分析】

求出导函数，则可得．

【详解】，由，即，解得.

故答案为．

【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线垂直的条件．属于简单题．

14.已知双曲线：的焦点关于一条渐近线的对称点在轴上，则该双曲线的离心率为____________．

【答案】

【解析】

【分析】

由题意列方程得双曲线是等轴双曲线，进而可得离心率.

【详解】设焦点坐标是， 其中一条渐近线方程是，设焦点关于渐近线的对称点是，

则 ，得：，解得：，

所以，，

所以双曲线的离心率是.

故答案：.

【点睛】本题考查双曲线的几何性质，重点考查等轴双曲线的几何性质，属于基础题型.

15.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，则该四棱锥的外接球的表面积为______．

【答案】

【解析】

【分析】

由已知，易得为全等的等边三角形，且边长为2，过P作垂直于底面ABCD于T，连接，为正方形的中心，进一步可得球心O即为T，即可得到外接球半径及表面积.

【详解】因为，，为正方形，

所以为全等的等边三角形，且边长为2，过P作垂直于底面ABCD于T，连接，

如图，

易知，所以为的外心，又为正方形，

即为正方形的中心，设四棱锥的外接球的球心为O，半径为R，连接，

由已知，，

，所以，

即，解得，即球心与T重合，

所以外接球半径，

其表面积为.

故答案：

【点睛】本题考查四棱锥与球的切接问题，涉及到球的表面积，考查学生的空间想象能力，数学运算能力，是一道中档题.

16.已知抛物线的焦点为，为抛物线上的三个动点，其中且若为的重心，记三边的中点到抛物线的准线的距离分别为且满足，则____；所在直线的方程为____．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

根据焦半径公式和中位线定理可知，代入已知得到，根据重点坐标公式可知，公式结合后可得，代入抛物线方程求，并求得的中点坐标，并代入斜率公式化简求值，最后代入点斜式方程求直线.

【详解】由题意知，代入得，即．由为的重心，则有，即，即，所以，因此有．故的中点坐标为，所在直线的斜率，故所在直线的方程为．

故答案为：-4；

【点睛】本题考查抛物线的几何性质，三角形重心的性质，以及直线与抛物线的综合应用，意在考查转化与化归的思想，计算，变形，化简能力，属于中档题型.

三、解答题

（一）必考题

17.2019年末，武汉出现新型冠状病毒（肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，目前没有特异治疗方法.防控难度很大.武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，某社区将本社区的排查工作人员分为，两个小组，排查工作期间社区随机抽取了100户已排查户，进行了对排查工作态度是否满意的电话调查，根据调查结果统计后，得到如下的列联表.

（1）分别估计社区居民对组、组两个排查组的工作态度满意的概率；

（2）根据列联表的数据，能否有的把握认为“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”有关？

附表：

附：

【答案】（1）社区居民对组排查工作态度满意的概率估计值为，对组排查工作态度满意的概率估计值为（2）有的把握认为“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”有关

【解析】

【分析】

（1）根据表格计算满意人数与总人数的比值即可估计两个排查组的工作态度满意的概率；

（2） 计算，与临界值比较，得出结论.

【详解】（1）由样本数据，组排查对象对社区排查工作态度满意的比率为，因此社区居民对组排查工作态度满意的概率估计值为.

组排查对象对社区排查工作态度满意的比率为，因此社区居民对组排查工作态度满意的概率估计值为.

（2）假设“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”无关，根据列联表中的数据，得到

，

因此有的把握认为“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”有关.

【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，独立性检验，考查了对数据的处理计算能力，属于中档题.

18.已知等差数列的前项和为且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列前项和．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）设等差数列的公差为，将已知条件转化为的关系，求解即可求出数列的通项公式；

（Ⅱ）由（1）结合已知可得，用错位相减法求其和.

【详解】（Ⅰ）设数列的公差为，

由得：，所以，

又因为，所以．

于是，故．

（Ⅱ）设的前项和为，因为，所以，

依题，

则

于是

即

故：．

【点睛】本题考查等差数列的前项和与通项公式的基本量的计算，以及用错位相减法求数列的前项和，考查计算求解能力，属于基础题.

19.如图1，在中，分别是边上的中点，将沿折起到的位置，使如图2．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求点到平面的距离．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）要证明线线垂直，需证明线面垂直，易证明平面；

（Ⅱ）利用等体积转化，求点到平面的距离.

【详解】证明：（Ⅰ）在图1中，，为边中点，所以．

又所以．

在图2中，且则平面．

又因为平面所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面且平面，

所以平面平面

且平面平面，

在正中，过作，垂足为，

所以平面．

即为三棱锥底面上的高，

在中，．

在中，，，所以．

在梯形中．

设点到平面的距离为，

因为，

所以，解得．

即点到平面的距离为．

【点睛】本题考查线线，线面垂直关系，以及点到平面的距离，重点考查空间想象能力，转化能力，属于基础题型.

20.已知点，椭圆：的离心率为和分别是椭圆的左焦点和上顶点，且的面积为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与相交于，两点，当时，求直线的方程．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由的面积为，得出关系，再由离心率结合关系，求解即可得出椭圆方程；

（Ⅱ）设，由已知可得，设直线方程为，与椭圆方程联立，得到的关系式，进而得出的关系式，建立的方程，求解即可得出结论.

【详解】（Ⅰ）设，由条件知，

所以的面积为，①

由得，从而，化简得，②

①②联立解得，

从而，所以椭圆的方程为；

（Ⅱ）当轴时，不合题意，故设，

将代入得．

由题得，

设，则

因为，

所以，

从而，

整理得，，

所以直线的方程为或．

【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要掌握根与系数关系设而不求方法在相交弦中的应用，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.

21.已知函数，其中为自然对数的底数．

（Ⅰ）讨论单调性；

（Ⅱ）当时，设函数存在两个零点，求证：．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）证明见解析

【解析】

【分析】

（Ⅰ），分和两种情况讨论函数单调性；

（Ⅱ）解法一：由题意可知，两式相减可得，再利用分析法转化为证明要证，只需证，再通过变形，构造，证明只需证即可，，构造函数，利用导数证明.

解法二：由题意可知，再换元令，即，两式相减得，要证，即只需证，即证，再通过变形，构造得到，，，利用导数证明.

【详解】解：（1），

当时，，在上单调递增；

当时，令得，在上单调递减，在上单调递增；

（Ⅱ）解法一：由题意知，由得，

两式相减得，因为，故，

要证，只需证，

两边同除以得，

令，故只需证即可．

令，，

令，

当时，，故在上单调递减，

故，故在上单调递增，故，故原命题得证．

【解法二】由题意知，由得，

令，即，两式相减得，

要证，即只需证，即证，即，即，

令，只需证即可．

令，，

当时，，故在上单调递增，故，因此原不等式成立．

【点睛】本题考查导数的综合应用 ，重点考查利用导数研究函数的单调性，最值，本题的难点是根据方程组转化，变形为可利用的式子，再利用分析法将所证明不等式等价转化，最后根据换元构造函数，本题属于难题.

（二）选考题

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），曲线、交于､两点．

（Ⅰ）求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程；

（Ⅱ）已知点的直角坐标为，求的值．

【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）将曲线参数消去，得出普通方程，再将代入普通方程，即可得到曲线的极坐标方程；曲线参数方程先化为，然后平方相减，即可消去参数，求出曲线的普通方程；

（Ⅱ）在曲线上，将曲线的直线标准参数方程代入曲线的普通方程，利用根与系数关系和曲线参数的几何意义，即可求解.

【详解】（Ⅰ）曲线的参数方程为（为参数）．

消去得，将，

代入上式得曲线的极坐标方程，

整理得；

因为，

所以曲线的普通方程为．

（Ⅱ）因为在曲线上，

所以将的参数方程（为参数）．

代入到的直角坐标方程，得，

设分别为点对应的参数，则有，

由参数的几何意义得．

【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、直角坐标方程与极坐标方程互化，利用直线的标准参数方程的几何意义求距离，考查计算求解能力，属于中档题.

[选修4-5：不等式选讲]

23.函数

（Ⅰ）求函数的最小值；

（Ⅱ）若的最小值为，，求证：．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析

【解析】

【分析】

（Ⅰ）对分类讨论去绝对值化简，求出各段函数的范围，即可求出的最小值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，将所求的不等式化为，利用基本不等式，即可证明结论.

【详解】（1）

当时，；当时，；

当时，．所以的最小值为．

（2）由（1）知，即，

又因为，

所以

．

当且仅当，即时，等号成立，

所以．

【点睛】本题考查分类讨论求绝对值不等式的最值，以及利用基本不等式证明不等式，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.