黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三第三次模拟数学（理）试题

2020年高三学年模拟考试数学试卷（理工类）本试卷共23题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项:  1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 设集合，集合，则A．                B．  C．  D． 2． 在复平面内，复数对应点位于A．第一象限  B． 第二象限              C． 第三象限              D．第四象限3． 下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是A．         B．         C．     D．4． 数列是等差数列，且，，那么A．            B．          C．                D．5． 有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是A．残差平方和变小 B．相关系数变小C．相关指数变小 D．解释变量与预报变量的相关性变弱6．  函数在处的切线方程是A． B．        C．     D． 7．“克拉茨猜想” 又称“ 猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，  最终都能够得到1，得到1即终止运算，己知正整数经过5次运算后得到1，则的值为A．32或5          B．16或2          C．16              D． 32或5或48．  小李和小王相约本周六在14：00到15：00进入腾讯会议室线上交流，假设两人在这段时间内的每个时刻进入会议室是等可能的，先到者等候另一人10分钟，过时即离去．则两人能在会议室相遇的概率为A ．              B．                  C．                         D．9．  某程序框图如图所示，若输入的、分别为5、3，则输出的        A．        B．         C．         D．10．已知分别是双曲线的左右焦点，为 轴上一点， 为左支上一点，若，且周长最小值为实轴长的3倍，则双曲线的离心率为A．   B．   C．   D．11．已知数列，，则数列的前100项和为A．   B．             C．                   D．12．已知中，长为2的线段为边上的高，满足：，且，则A．    B．         C．        D．二、  填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分．13．                           ．                        14．直线过抛物线的焦点，交抛物线于点（点在轴上方），过点作直线的垂线，垂足为，若垂足恰好在线段的垂直平分线上，则直线的斜率为                  ．                      15．新型冠状病毒蔓延以来，世界各国都在研制疫苗，某专家认为，某种抗病毒药品对新型冠状病毒具有抗病毒、抗炎作用，假如规定每天早上7：00和晚上7：00各服药一次，每次服用该药药量700毫克具有抗病毒功效，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的70%，该药在人体内含量超过1000毫克，就将产生副作用，若人长期服用这种药，则这种药                                                                                                         （填“会”或者“不会”）对人体产生副作用．16．  在三棱锥中，，二面角、、的大小均为，设三棱锥的外接球球心为，直线交平面于点，则三棱锥的内切球半径为                         ，                            ．                 三、  解答题: 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一) 必考题：共60分．17．     函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2） 若 ，且，求． 18．     如图，三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，  ， 底面，点分别为，的中点．（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得直线与 平面所成的角的余弦值为？若存在，确定点的位置； 若不存在，请说明理由．19．  函数   （1） 求证：函数在上单调递增；   （2） 若为两个不等的正数，试比较与的大小，并证明．20．  已知椭圆的离心率为，且以原点为圆心，以短轴长为直径的圆过点．（1）  求椭圆的标准方程；（2） 若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且与圆没有公共点，设为椭圆上一点，满足（为坐标原点），求实数的取值范围． 21．（1）某中学理学社为了吸收更多新社员，在校团委的支持下，在高一学年组织了抽签赠书活动. 月初报名，月末抽签，最初有30名同学参加. 社团活动积极分子甲同学参加了活动.(ⅰ)    第一个月有18个中签名额. 甲先抽签，乙和丙紧随其后抽签. 求这三名同学同时中签的概率.(ⅱ)   理学社设置了第()个月中签的名额为, 并且抽中的同学退出活动，同时补充新同学，补充的同学比中签的同学少2个，如果某次抽签的同学全部中签， 则活动立刻结束. 求甲同学参加活动时间的期望.（2）某出版集团为了扩大影响，在全国组织了抽签赠书活动. 报名和抽签时间与(1)中某中学理学社的报名和抽签时间相同, 最初有30万人参加, 甲同学在其中. 每个月抽中的人退出活动，同时补充新人, 补充的人数与中签的人数相同. 出版集团设置了第()个月中签的概率为，活动进行了个月，甲同学很幸运，中签了，在此条件下，求证：甲同学参加活动时间的均值小于个月．      （二）选考题：共10分．请考生在第22,23题中选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22．   选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于、两点．（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若，求的值． 23．  选修4-5：不等式选讲          已知函数和函数.（1） 当时，求关于的不等式的解集；（2）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围．
2020年高三学年模拟考试数学试卷（理工类）参考答案一、选择题：123456789101112CBDBAAABACBD二、填空题：13.          14.       15. 不会      16.  ，三、解答题：17. （1）由图像可知                                       ……….3分         代入点，得                      ………6分（2） 由题意知                                  ………8分                            ………12分18. （1）因为底面，底面所以，          ……….2分又因为，所以平面,                                         …….. 4分因为平面，所以平面 平面           ………… 5分（2）因为两两垂直，所以 以为坐标原点，分别以的正方向为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则                                        …….. 6分,设平面的法向量为,由得,不妨设,则,所以                                                     ……..….8分设,则,由题知             ………….10分解得                                                           ……...12分 19. （1）………………………………………………………3分 在上单调递增   ……………………………………………………….5分       （2）不妨设=令，设，                ……………………………….7分由（1）知在上单调递增，，…………….10分         又，，                               …………………12分（1）依题意：                                     …………….2分所以椭圆方程为                            ………………..4分（2）由题意直线斜率不为0，设直线：得由得 所以，设，由韦达定理                          ……………6分 因为得           …………8分直线与圆没有公共点，则，所以                 ………….10分                                      ………….12分21（1）（i）设甲乙丙中签为事件，则            ………….3分（ii）甲参加活动的时间的可能取值为则;则甲参加活动的时间的期望为    …….. 8分（2）设甲中签为事件，则设,甲在第个月中中签的概率为，则甲在事件A发生的条件下，第个月中中签的概率为，则甲在事件A发生的条件下，甲参加活动时间的均值为   ………10分，则  所以 所以             …………12分22.  （1）直线的直角方程为，                              ……….2分曲线的直角坐标方程                      ……….4分（2）直线的参数方程可化为                 ……….6分     代入曲线可得                                      ……….8分     所以                                 ……….10分 23. （1）时，                                     当时，，无解；                     ……………1分当时，，；            ……………2分当时，恒成立，；                   ……………3分综上，的解集为.                       ……………5分 （2），           ……………6分     ，                                 ……………7分     由题意知，的值域是的值域的子集，即，  ……………9分        的取值范围为.                         ……………10 分