黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三第三次模拟数学（文）试题
展开2020年高三学年模拟考试
数学试卷（文史类）
本试卷共23题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项:
1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 设集合，集合，则
A． B． C． D．
2． 在复平面内，复数对应点位于
A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D．第四象限
3． 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是
A． B． C． D．
4． 数列是等差数列，且，，那么
A． B． C． D．
5． 函数在处的切线方程是
A． B． C． D．
6． 在区间上随机取一个数，则直线与圆有两个不同公共点的概率为
A． B． C． D．
7．有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是
A．残差平方和变小
B．相关系数变小
C．相关指数变小
D．解释变量与预报变量的相关性变弱
8． “克拉茨猜想” 又称“ 猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后， 最终都能够得到1，得到1即终止运算，己知正整数经过5次运算后得到1，则的值为
A．32或5 B．32或5或4 C．16 D．16或2
9． 某程序框图如图所示，若输入的、分别为5、3，则输出的
A． B． C． D．
10． 已知分别是双曲线的左右焦点，为
轴上一点， 为左支上一点，若且周长最
小值为实轴长的3倍，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
11． 已知数列，，则数列的前100项和为
A． B． C． D．
12． 已知中，长为2的线段为边上的高，满足：，且，则
A． B． C． D．
二、 填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 若，则 ．
14． 已知，命题“存在，使”为假命题，则a的取值范围为 ．
15． 直线过抛物线的焦点，交抛物线于点（点在轴上方），过点作直线的垂线，垂足为，若垂足恰好在线段的垂直平分线上，则直线的斜率为 ．
16． 在三棱锥中， ，面，则三棱锥的外接球半径为 ，三棱锥的内切球半径为 ．
三、 解答题: 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一) 必考题：共60分．
17． 函数的部分图象如图所示．
（1） 求函数的解析式；
（2） 若 ，且，求．
18． 如图，三棱锥中，底面是边长为2的正三角形， ， 底面，点分别为，的中点．
（1） 求证：平面平面；
（2） 在线段上是否存在点，使得三棱锥体积为？
若存在，确定点的位置； 若不存在，请说明理由．
19． 某中学某社团为研究高三学生课下钻研数学时间与数学考试中的解答题得分的关系，随机调查了某中学高三某班名学生每周课下钻研数学时间（单位：小时）与高三下学期期中考试数学解答题得分，数据如下表：
2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | |
30 | 38 | 44 | 48 | 50 | 54 |
（1） 根据上述数据，求出数学考试中的解答题得分与该学生课下钻研数学时间的线性回归方程，并预测某学生每周课下钻研数学时间为小时其数学考试中的解答题得分；
（2） 从这人中任选人，求这人中至少有人课下钻研数学时间不低于小时的概率.
参考公式：，其中，
参考数据：，，
20． 函数
（1） 求证：函数在上单调递增；
（2） 若为两个不等的正数，求证．
21． 已知椭圆的离心率为，且以原点为圆心，以短轴长为直径的
圆过点．
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且与圆没有公共点，设为椭圆上一点，满足（为坐标原点），求实数的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22,23题中选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22． 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于、两点．
（1） 写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2） 若，求的值．
23． 选修4-5：不等式选讲
已知函数和函数.
（1） 当时，求关于的不等式的解集；
（2） 若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围．
2020年高三学年模拟考试
数学试卷（文史类）参考答案
一、选择题：
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
C | B | D | B | A | D | A | A | A | C | B | D |
二、填空题：
13. ； 14. ； 15. ； 16. ，.
三、解答题：
17. （1）由图像可知 ……….3分
代入点，得 ………6分
（2） 由题意知 ………8分
………12分
18. （1）因为底面，底面所以， ……….2分
又因为，
所以平面, …….. 4分
因为平面，所以平面 平面 ………… 5分
（2）过G作
面ABC，面PAB面ABC
又面PAB面ABC=AB，面ABC ………… 7分
，
且， ………… 9分
， ………… 11分
为PB中点 ………… 12分
19.（1） ………… 1分
………… 4分
…………5分
当时， …………6分
（2）设“这2人中至少有一个人刻下钻研数学时间不低于8小时为事件A” ………7分
所有基本事件如下：
（2，4），（2，6），（2，8），（2，10），（2，12），（4，6），（4，8），（4，10），
（4，12）， （6，8），（6，10），（6，12），（8，10），（8，12），（10，12）
共15个基本事件 …………… 9分
事件A包含（2，8），（2，10），（2，12），（4，8），（4，10），（4，12），（6，8），（6，10）
（6，12），（8，10），（8，12），（10，12）共12个基本事件 ………… 11分
所以 ………… 12分
20. （1）
………………………………………………………3分
在上单调递增 ……………………………………………………….5分
（2）不妨设
=
令，设， ……………………………….7分
由（1）知在上单调递增，，…………….10分
又，， …………………………………12分
21．（1）依题意： …………….2分
所以椭圆方程为 ………………..4分
（2）由题意直线斜率不为0，设直线：
得由得 ，
设，
由韦达定理 ……………6分
因为，所以
因为得 …………8分
直线与圆没有公共点，则，所以 ………….10分
………….12分
22. （1）直线的直角方程为， ……….2分
曲线的直角坐标方程 ……….4分
（2）直线的参数方程可化为 ……….6分
代入曲线可得 ……….8分
所以 ……….10分
23. （1）时，
当时，，无解； ……………1分
当时，，； ……………2分
当时，恒成立，； ……………3分
综上，的解集为. ……………5分
（2）， ……………6分
， ……………7分
由题意知，的值域是的值域的子集，即， ……………9分
的取值范围为. ……………10 分
