湖北省黄冈市实验高级中学2020届高三第六次模拟考试数学（文）试卷
展开文 科 数 学
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1. 已知集合（ ）
- B. C. D.
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. 为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在
2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70% ． 2015 年
开始全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019 年度实施的扶贫项
目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱
贫率见下表：
实施项目 | 种植业 | 养殖业 | 工厂就业 | 服务业 |
参加户占比 | 40% | 40% | 10% | 10% |
脱贫率 | 95% | 95% | 90% | 90% |
那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）倍
A. B. C. D.
5. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．3
7.《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，
《易经》的博大精深，对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响.
下图就是《易经》中记载的几何图形--八卦田，图中正八边形代表
八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代
表八卦田.已知正八边形的边长为10 m ，代表阴阳太极图的圆的
半径为4 m ，则每块八卦田的面积约为（ ） （，）
A．114 m2 B. 57 m2 C. 54 m2 D. 48 m2
8.圆C：被直线截得的弦长的最小值为（ ）
A.1 B.2 C. D.
9.函数的图象可能是（ ）
C． D．
10.锐角△ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c ,若，则角C的大小为 （ ）
A. B. C. D.
11.若定义在 R 上的增函数 y f (x 1) 的图象关于点 (1, 0) 对称， 且g(x) f (x) 1 ，则下列结论不．一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
12．如图,长方体中, 、分别为棱、的中 点．直线与平面的交点,则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知平面向量a, b ，满足 ，则向量 的夹角为 .
14.已知轴为曲线的切线，则的值为 ．
15.已知且，，若有最大值，则的取值范围是___________
16．石雕工艺承载着几千年的中国石雕文化，随着科技的发展，机器雕刻产品越来越多．某石雕厂计划利用一个圆柱形的石材（如图1）雕刻制作一件工艺品（如图2），该作品的上方是一个球体，下方是一个正四棱柱，经测量，圆柱形石材的底面半径米，高米，制作要求如下：首先需将石材切割为体积相等的两部分（分别称为圆柱A和圆柱B），要求切面与原石材的上、下底面平行（不考虑损耗），然后将圆柱A切割打磨为一个球体，将圆柱B切割打磨为一个长方体，则加工打磨后所得工艺品的体积的最大值为__________立方米。
三、解答题：共70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（12分）设的内角所对的边分别为，若，且．
（1）求证：C，A，B成等差数列；
（2）若的面积的最大值为，求外接圆的半径。
18．（12分）孔子曰：温故而知新.数学学科的学习也是如此.为了调查数学成绩与及时复习之间的关系，某校志愿者展开了积极的调查活动：从高三年级640名学生中按系统抽样抽取40名学生进行问卷调查，所得信息如下：
| 数学成绩优秀（人数） | 数学成绩合格（人数） |
及时复习（人数） | 20 | 4 |
不及时复习（人数） | 10 | 6 |
（1）张军是640名学生中的一名，他被抽中进行问卷调查的概率是多少（用分数作答）；
（2）根据以上数据，运用独立性检验的基本思想，研究数学成绩与及时复习的相关性.
参考公式：，其中为样本容量
临界值表：
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
19．（12分）如图，三棱锥中，侧面是边长为的正三角形，，平面平面，把平面沿旋转至平面的位置，记点旋转后对应的点为（不在平面内），，分别是，的中点。
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积的最大值。
20．（本题满分12分）
已知椭圆过点,且椭圆的短轴长为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知动直线l过右焦点F ，且与椭圆C分别交于M ,N 两点．试问x轴上是否存在定点Q,使得恒成立？若存在求出点Q的坐标，若不存在，说明理由。
21.（本题满分12分）
已知函数.
（1）当时，取得极值，求的值，并判断是极大值点还是极小值点；
（2）当函数有两个极值点，且时，总有成立，求
的取值范围。
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
- 【选考4-4】：坐标系与参数方程（10分）
在平面直角坐标系中，曲线 C的参数方程为（为参数），以坐
标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为，
若直线 与曲线C相切。
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2)在曲线C上取两点M，N与原点O构成，且满足，求面积的最大值。
23. 【选考4-5】：不等式选讲（10分）
已知，
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为，且，求证：
参考答案
一、选择题：
1-6：CADCCA 7-12:CBDDAA
二、填空题：
- 14. 15. 16.
16． 【解析】因为圆柱A和圆柱B的体积一样大，所以它们的高一样，即米，要使工艺品的体积最大，则上方的球与下方的长方体的体积同时取得最大值．设由圆柱A打磨的球体半径为，则，即，所以．当时，球的体积取得最大值，此时球体体积．设下方的长方体的底面边长分别为，要使长方体的体积最大，长方体的高与圆柱B的高相等，此时其体积．因为长方体为圆柱B的内接长方体，即长方体的底面是圆柱底面的内接长方形，所以长方形的对角线长等于圆柱底面的直径，即．由基本不等式可得，即，当且仅当时取等号，所以长方体体积的最大值为，所以所得工艺品的体积的最大值为（立方米）．
三、解答题：
17．（12分）
【解析】（1）因为，且，
所以，即，（2分）
由正弦定理可得，即，
再由余弦定理可得，因为，所以，（4分）
又，所以，所以，
所以C，A，B成等差数列．（6分）
（2）由（1）知，
所以，当且仅当时取等号，所以，（8分）
又的面积的最大值为，所以，解得，（10分）
设外接圆的半径为，则，解得，
所以外接圆的半径为．（12分）
18.解：（1）
（2）由题可得如下列联表
| 优秀 | 合格 | 合计 |
及时复习 | 20 | 4 | 24 |
不及时复习 | 10 | 6 | 16 |
合计 | 30 | 10 | 40 |
根据列联表中的数据，可得随机变量的观测值
，
因为，所以有的把握认为数学成绩与及时复习有关.
19．（12分）
【解析】（1）如图，连接，，因为，是的中点，所以，
又平面平面，平面平面，
所以平面，所以．（3分）
因为为边长为的正三角形，所以，又，所以由勾股定理可得，
又，所以为直角三角形，且，
又，分别是，的中点，所以，所以．（6分）
（2）如图，连接，，
因为三棱锥与三棱锥为同一个三棱锥，且的面积为定值，
所以当三棱锥的体积最大时，必有平面，（8分）
此时点到平面的距离为，
在中，因为，，所以，（10分）
所以的最大值为，
所以三棱锥的体积的最大值为．（12分）
20.解：（Ⅰ）因为椭圆C过点，所以
又因为
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）假设在x轴上存在定点，使得.
①当直线的斜率不存在时，则.
，由
解得；
②当直线的斜率为0时，则,
由解得 由①②可得，
即点Q的坐标为.下面证明当时，恒成立，
当直线的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论 成立.
当直线斜率存在且不为0时，设其方程为，，
由，
直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交,且
所以
综上所述，在x轴上存在定点，使得恒成立.
21.解：（1）求得，从而
因为时，，为增函数；
时，，为减函数；
所以为极大值点.
（2）函数的定义域为，有两个极值点，则在上有两个不相等的实根，所以，由，可得，从而问题转化为在且时成立.即成立，即 ，即，进而①.
令，则
（Ⅰ）当时，，则在上为增函数且，①式不成立；
（Ⅱ）当时，令，则
若，即时，，所以在上为减函数且，
在区间和上同号，故①式成立.
若，即时，的图象的对称轴，
令，则时，，不合题意.
综上所述：满足题意.
23.解：（1）当时，等价于，该不等式恒成立.
当时，等价于，该不等式的解集为.
当时，等价于，解得.
综上所述，不等式的解集为.
（2）证明：当时.
当时取得最小值1.
当时.
所以的最小值为1，即
因为，所以
同理可得：
所以
