湖北省黄冈市实验高中2020届高三第四次模拟考试数学（文）试卷

文 科 数 学

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．欧拉公式（e是自然对数的底数，i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当时，就有，根据上述背景知识试判断表示的复数在复平面对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．麒麟是中国传统瑞兽．古人认为，麒麟出没处，必有祥瑞．有时用来比喻才能杰出、德才兼备的人．如图是客家麒麟图腾，为了测量图案中黑色部分面积，用随机模拟的方法来估计．现将图案剪成长，宽的矩形，然后在图案中随机产生了500个点，恰有248个点落在黑色区域内，则黑色区域的面积的估计值为（    ）．

A． B． C． D．

（第3题）                                （第4题）

4．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的结果为22，则k可取的最小正整数为（    ）

A．41 B．6 C．7 D．42

5．已知四边形ABCD为平行四边形，，，M为CD中点，，则（    ）        

 A．         B．           C．1              D．

6．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（    ）

A．        B．          C．             D．

7．若，则， ， ， 的大小关系为（   ）

A． B．

C． D．

8．函数在的图像大致为（    ）

A．                    B．

C．   D．

9．已知函数，其图象相邻的最高点之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且为奇函数，则（    ）

A．的图象关于点对称 B．的图象关于点对称

C．在上单调递增 D．在上单调递增

10．空间中，m,n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ）

A. 若，则              B. 若，则

C. 若，则     D. 若，则

11．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，点，分别在双曲线的两条渐近线上，轴，，四边形为梯形，则双曲线离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则实数的值为______.

14．2020年初，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得

全国学生无法在春季正常返校开学，不得不在家“停

课不停学”。为了解高三学生每天居家学习时长，从

某校的调查问卷中，随机抽取个学生的调查问卷进

行分析，得到学生学习时长的频率分布直方图（如右图

所示）。已知学习时长在的学生人数为25，则的值______．

15．已知球的内接正方体的棱长为1，点在线段上，过点垂直于的平面截球所得的截面圆的面积为，则线段的长为__________．

16．在平面直角坐标系xOy中，AB是圆O：x2＋y2＝1的直径，且点A在第一象限；圆O1：(x﹣a)2＋y2＝r2(a＞0)与圆O外离，线段AO1与圆O1交于点M，线段BM与圆O交于点N，且，则a的取值范围为_______.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

（1）若b＝，C＝120°，求△ABC的面积S

（2）若b：c＝2：3，求

18．（本小题满分12分）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.

（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；

（2）求关于的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？

附：相关系数公式，回归方程

中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： .            

19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，四边形ABCD为平行四边形，且点在底面上的投影H恰为CD的中点. 

（1）棱BC上存在一点N，使得AD⊥平面，试确定点N的位置，说明理由；

（2）求三棱锥的体积                     .

20．（本小题满分12分）已知抛物线：（），圆：（），抛物线上的点到其准线的距离的最小值为.   

（1）求抛物线的方程及其准线方程；

（2）点是抛物线在第一象限内一点，过点P作圆的两条切线分别交抛物线于点A，B（A，B异于点P），问是否存在圆使AB恰为其切线？若存在，求出r的值；若不存在，说明理由   .        

21．（本小题满分12分）已知函数.

（1）若，求的最小值；

（2）若，且，证明：.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。

答题时请在答卷中写清题号并将相应信息点涂黑。

22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；

（2）设是曲线上一点，此时参数，将射线绕坐标原点逆时针旋转交曲线于点，记曲线的上顶点为，求的面积。

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数，A为不等式的解集．

（1）求集合A；

（2）已知，若、、为正实数，且，求证：．

答案

1.【答案】C

【解析】由，

则，

2.【答案】D

【解析】欧拉公式，

在中，，

所以

，

对应点的坐标为，所以在第四象限，

3.【答案】A

【解析】依题意，矩形面积，设黑色部分的面积为，

由几何概型的概率计算公式可得，，解得.

4【答案】C

【解析】第一次进入循环后：，，第二次进入循环后：，，

第三次进入循环后：，，因为该程序运行后输出的结果为22，

所以，满足条件，，不满足，

所以正整数k的最小值为7

5.【答案】A

【解析】

.【答案】D

6【解析】在等差数列中，由，得，，，

在等比数列中，由，得，，，

则.

7【答案】D

【解析】因为，所以，

因为，，所以,.

综上；故选D.

8【答案】D

【解析】因为，所以为奇函数，关于原点对称，故排除，又因为，，，，故排除、,

9.【答案】C

【解析】因为函数图象相邻的最高点之间的距离为，

所以其最小正周期为，则.

所以.

将函数的图象向左平移个单位长度后，

可得的图象，

又因为是奇函数，令，

所以.又，

所以.

故.

当时，，故的图象不关于点对称，故A错误；

当时，，故的图象关于直线对称，不关于点对称，故B错误；

在上，，单调递增，故C正确；

在上，，单调递减，故D错误.

10.【解析】 选项 A错误，同时和一个平面平行的两条直线不一定平行，可能相交，可能异面；选项B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；
选项C错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，只有在两个平面互相垂直时才与另一个平面垂直；选项D正确，由得又故选D.

11.【答案】A

【解析】设，所以，直线的方程为，

直线的方程为，解得，

，又直线的方程为，

则，，又因为，

所以，，

，.

12.【答案】B

【解析】在定义域内单调递增，，

即，即是方程的两个不同根，∴，
设，
∴时，；时，，
∴是的极小值点，

的极小值为：，
又趋向0时，趋向；趋向时，趋向，
时，和的图象有两个交点，方程有两个解，
∴实数的取值范围是．

13.【解析】依题可得，，设两曲线的公共点为，则，

解得．

14.【解析】由频率分布直方图的性质，可得，解得，

所以学习时长在的频率，解得.

15【答案】或

【解析】由题意，球O的半径为，截面圆的半径为，

则球心O到截面的距离，

线段的长为或 

16【解析】四边形ONO1M为平行四边形，即ON＝MO1＝r＝1，

所以圆的方程为，

且ON为△ABM的中位线AM＝2ON＝2AO1＝3，

故点A在以O1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：，

故与x2＋y2＝1在第一象限有交点，即2＜a＜4，

由，解得，

故a的取值范围为(，4).

故答案为：

17【解析】（1）由，得，∴．

∵，∴，∴．

（2）∵，，∴，

故可设，， ，

则，       

∴

18【解析】（1）因为，．

，

，

．

．

∴可用线性回归模型拟合与的关系；

（2），．

∴．

当时，．

∴预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克．

19【解析】（1）当点N为棱BC的中点时，符合题目要求，下面给出证明.

分别连结NH，，BH，

∵在底面上的投影H恰为CD的中点，∴⊥平面ABCD，

又BC⊂平面ABCD，∴⊥BC，

在△HBC中，，故△HBC为等边三角形，

又点N为棱BC的中点，∴NH⊥BC，

又⊥BC，∩NH=H，，NH⊂平面，

∴BC⊥平面，

又由平行四边形ABCD得AD//BC，

∴AD⊥平面，点N即为所求.

（2）∵平面//平面，

∴到平面的距离即为A到平面的距离，

过A作AM⊥CD于点M，

又⊥平面ABCD，∴⊥AM，

又，∴AM⊥平面，

，，

又，

所以

20【解析】（1）由题意得，解得，   

所以抛物线的方程为，准线方程为.

（2）由（1）知，.

假设存在圆使得AB恰为其切线，设，，

则直线PA的的方程为，即.

由点到PA的距离为r，得，

化简，得，

同理，得.

所以，是方程的两个不等实根，

故，.

易得直线AB的方程为，

由点到直线AB的距离为r，得，

所以，

于是，，

化简，得，即.

经分析知，，因此.

21.【解析】（1）解:当时,,

所以,

设,则,所以在上单调递增,

即在上单调递增,

因为,

所以当时,；当时,,

因此在上单调递减,在上单调递增,

所以.

（2）证明:,则,所以在上单调递增,因为,

所以当时,；当时,,

因此,在上单调递减,在上单调递增,

由,不妨设,则,,

令

,

则

，

当时，，

故,所以在上单调递增；

所以当时，即时,，

因此,

又,所以,

因为,,在上单调递增,

所以,即,故.

22【解析】（1）由，--------------------------------------------1分

所以的普通方程为，---------------------------2分

由-----------------------------------------------------3分

可得--------------------4分

（2）设点的横坐标为，则由已知可得，

且直角坐标，极坐标，-----------------------------------------------------6分

其中，极坐标，-------------------------------------8分

，----------------------------------------------------------------9分

所以---------------------------------------------------10分

23【解析】（1）

当时，，

由，解得，∴；

当时，，

由，解得，∴；

当时，，

由，解得，∴．

综上，的解集．

（2）由（1）知：，

所以，，

故，又、、为正实数，

故，

，

，

当且仅当，即，，等号成立，

∴，即．