湖南省2019-2020学年高三上学期模拟检测数学试卷

数学试卷
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。时量120分钟，满分150分。答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知全集U＝，A＝，B＝，则下列结论正确的是
A．B⊆A B．A∪B＝
C．A∩B＝ D．∁UA＝{1，5}
2．已知i为虚数单位，z(1＋i)＝3－i，则在复平面上复数z对应的点位于
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
3．某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是
A. B. C. D.
4．下列判断正确的是
A．“α>45°”是“tan α>1”的充分不必要条件
B．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
C．命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R，2x0≤0”
D．若命题“p∧q”为假命题，则命题p，q都是假命题
5．已知公差d≠0的等差数列满足a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比数列，若正整数m，n满足m－n＝10，则am－an＝
A．10 B．20 C．30 D．5或40

6．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的求多项式值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图，是利用秦九韶算法求一个多项式的值，若输入n，x的值分别为3，，则输出v的值为
A．17 B．11.5
C．10 D．7
7．已知实数x，y满足则z＝2x＋y的最小值为
A．0 B．－5 C．2 D．1
8．函数f(x)＝的部分图象大致是

9．将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标长度不变)得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是
A．函数g(x)的最大值为＋1
B．函数g(x)的最小正周期为π
C．函数g(x)在区间上单调递增
D．函数g(x)的图象关于直线x＝对称
10．已知直线y＝kx－1与抛物线x2＝8y相切，则双曲线：x2－k2y2＝1的离心率等于
A. B. C. D.
11．如图，平面四边形ABCD中，E，F是AD，BD中点，AB＝AD＝CD＝2，BD＝2，∠BDC＝90°，将△ABD沿对角线BD折起至△A′BD，使平面A′BD⊥平面BCD，

则四面体A′BCD中，下列结论不正确的是
A．EF∥平面A′BC
B．异面直线CD与A′B所成的角为90°
C．异面直线EF与A′C所成的角为60°
D．直线A′C与平面BCD所成的角为30°
12．已知函数f(x)＝ln x－＋a在x∈[1，e]上有两个零点，则a的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知平面向量a与b的夹角为45°，a＝(－1，1)，|b|＝1，则|a－2b|＝__________．
14．已知点A(2，0)，B(0，4)，O为坐标原点，则△AOB外接圆的标准方程是__________．
15．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1(n∈N*)，设bn＝1＋log2an，则数列的前n项和Tn＝__________．
16．已知四棱锥S－ABCD的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于__________．


三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题，共60分。
17．(本小题满分12分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin Asin Bcos B＋sin2Bcos A＝2sin Ccos B.
(1)求tan B的值；
(2)若b＝2，△ABC的面积为，求a＋c的值．





18．(本小题满分12分)
如图，ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB＝2FD＝4.
(1)求证：EF⊥AC；
(2)求几何体EFABCD的体积．
19.(本小题满分12分)
有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的散点图和对比表：


摄氏温度
－5
4
7
10
15
23
30
36
热饮杯数
162
128
115
135
89
71
63
37
(1)从散点图可以发现，各点散布在从左上角到右下角的区域里．因此，气温与当天热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，当天卖出去的热饮杯数越少．统计中常用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱．统计学认为，对于变量x、y，如果r∈[－1，－0.75]，那么负相关很强；如果r∈[0.75，1]，那么正相关很强；如果r∈(－0.75，－0.30]∪[0.30，0.75)，那么相关性一般；如果r∈[－0.25，0.25]，那么相关性较弱．请根据已知数据，判断气温与当天热饮销售杯数相关性的强弱．
(2)(ⅰ)请根据已知数据求出气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程；
(ⅱ)记[x]为不超过x的最大整数，如[1.5]＝1，[－4.9]＝－5.对于(ⅰ)中求出的线性回归方程y＝x＋，将y＝[]x＋[]视为气温与当天热饮销售杯数的函数关系．已知气温x与当天热饮每杯的销售利润f(x)的关系是f(x)＝2＋3(x∈[－7，38))(单位：元)，请问当气温x为多少时，当天的热饮销售利润总额最大？
【参考公式】＝r＝2＝1340，100，362＝1296，372＝1369.




20.(本小题满分12分)

如图，椭圆C：＋＝1的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆交于A，B两点，直线n：x＝4与x轴相交于点E，点M在直线n上，且满足BM∥x轴．
(1)当直线l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)证明：直线AM经过线段EF的中点．





21．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ax2＋x＋1(a>0)．
(1)设F(x)＝，讨论函数F(x)的单调性；
(2)若0g(x)在(0，＋∞)上恒成立．



(二)选考题：共10分。请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin.
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于M，N两点，求△MON的面积．



23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|.
(1)设a＝1，求不等式f(x)≤7的解集；
(2)已知a>－1，且f(x)的最小值等于3，求实数a的值．












数学试卷
一、选择题
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答　案
D
A
B
C
C
B
D
A
C
C
C
C













1.D　【解析】由题知集合A与集合B互相没有包含关系，且A∩B＝{3}，A∪B＝{2，3，4，5}，∁UA＝{1，5}，故选D.
2．A　【解析】由题知z＝＝＝1－2i，位于第四象限，故选A
3．B　【解析】从黄、白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色的所有基本事件有{黄白}，{黄蓝}，{黄红}，{白蓝}，{白红}，{蓝红}，共6种．其中包含白色的有3种，选中白色的概率为，故选B.
4．C　【解析】由否命题的概念知B错；关于A选项，前者应是后者的既不充分也不必要条件；关于D选项，p与q至少有一个为假命题；C选项正确．
5．C　【解析】由题知(a4－2)2＝a2a6，因为{an}为等差数列，所以(3d－1)2＝(1＋d)(1＋5d)，因为d≠0，解得d＝3，从而am－an＝(m－n)d＝30，故选C.
6．B　【解析】将n＝3，x＝代入程序框图，可得最后输出v＝11.5，故选B.

7．D　【解析】由题中给出的三个约束条件，可得可行域为如图所示阴影部分，易知在(0，1)处目标函数取到最小值，最小值为1，故选D.
8．A　【解析】由题知，f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，排除C和D，将x＝π代入f(x)得f(π)