湖南省衡阳市第八中学2020届高三模拟（零模）数学（理）试题

衡阳市第八中学2020届新高三摸底模拟检测理科数学试题卷一、选择题。1.已知集合，，则（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】化简集合Q,根据集合的并集运算即可.详解】由题意得，，，∴，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题. 2.设为虚数单位，复数满足，则共轭复数的虚部为（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据条件求出复数，然后再求出共轭复数，从而可得其虚部．【详解】∵ ，∴ ，∴，∴复数的虚部为．故选C．【点睛】本题考查复数的乘除法的运算及共轭复数的概念，其中正确求出复数是解题的关键，对于复数的运算，解题时一定要按照相关的运算法则求解，特别是在乘除运算中一定不要忘了． 3.已知，，，则a，b，c满足A. a<b<c B. b<a<cC. c<a<b D. c<b<a【答案】B【解析】【分析】根据对数的运算性质，化简得，，进而得，又由，即可得到答案.【详解】由题意，可得，，又由为单调递增函数，且，所以，所以，又由 ，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中合理应用对数函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4.函数的图象大致为（   ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项，从而可得结果.【详解】函数是偶函数，排除选项；当时，函数 ，可得，当时，，函数是减涵数，当时，函数是增函数，排除项选项，故选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象 5.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据实验结果的古典概型概率，可知军旗面积与圆形金币面积的比值，即几何概型的概率，从而求解.【详解】利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率，设军旗的面积为，由题意可得：，∴.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查了古典概型与几何概型，属于中档题. 6.在中， ， ， 的交点为，过作动直线分别交线段 于两点，若， ，（ ），则的最小值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】由A,M,D三点共线可知，存在实数t，使得,同理由C,M,B三点共线，存在实数m，使得,所以有 ，解得 ，所以,设，所以 ，所以 ，即 ，所以的最小值为，选D.点睛：本题主要考查平面向量在几何中的应用，三点共线的充要条件，基本不等式的应用，属于中档题。 7.已知函数.其中，的部分图象如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为－1），则的取值范围是（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由图象过点可求，根据可求出，函数恰有一个最大值和一个最小值，所以需满足，即可求解详解】由题意知，，∵，，∴，∵，∴，∴，∴.选D.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题. 8.某种植基地将编号分别为1，2，3，4，5，6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的ABCDEF 这六块实验田上进行对比试验，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要求编号1，3，5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且2号品种的马铃薯不能种植在A、F这两块实验田上，则不同的种植方法有 (   )A. 360种 B. 432种 C. 456种 D. 480种【答案】A【解析】由容斥原理，全排减去2站两端的，再减去，1,3，5不相邻，再加上2 站两端且1,3，5不相邻，所以N=360一类：恰两个相邻，选1,3,5中3个选两个排，再与另外4,6，排，最后插入2，不插两端，方法数=72，二类，三个相邻，1,3,5捆绑在一起，再与4,5排，最后插入2，不插两端，方法数360.【点睛】当从正面分类比较复杂时，常从反面，用容斥原理处理排列组合问题。 9.在锐角中，角，，对应的边分别是、、，向量，，且，则的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】因为△ABC是锐角三角形，所以由正弦定理，可得：本题选择B选项.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 10.过抛物线上两点分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点，则直线的方程为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】设出坐标，根据导数的几何意义求得切线的方程，利用两切线垂直且交于可得抛物线方程，然后设出直线与抛物线联立可求得直线的方程．【详解】解：由，得，∴．设，则，抛物线在点处的切线方程为，点处的切线方程为，由，解得，又两切线交于点，∴，故得 （*）．∵过两点的切线垂直，∴，故，∴，故得抛物线方程为．由题意得直线的斜率存在，可设直线方程为，由消去整理得，∴ （**），由（*）和（**）可得且，∴直线的方程为．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，用导数求曲线的切线方程，属中档题． 11.已知数列，的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值为（   ）A.  B.  C. 49 D. 【答案】B【解析】【分析】先求得的通项公式，化简的表达式，利用裂项求和法求得，由此求得的最小值.【详解】当时，，解得.当时，由，得，两式相减并化简得，由于，所以，故是首项为，公差为的等差数列，所以.则，故 ，由于是单调递增数列，，.故的最小值为，故选B.【点睛】本小题主要考查已知求，考查裂项求和法，考查数列的单调性，属于中档题. 12.已知函数（，）在区间内有唯一零点，则的取值范围为（  ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由函数在区间内有唯一零点，根据零点存在性定理即函数单调性可得或化简可得关于的约束条件，利用线性规划求解即可.【详解】，当时，，当时，令，则，所以函数在上单调递减，由函数在区间内有唯一零点，得,即        即或,即,又，，所以 （1）或 （2）所以，满足的可行域如图（1）或图（2）中的阴影部分所示，则表示点（，）与点（－1，－2）所在直线的斜率，综上可得的最小值在点处取得，根据得A点坐标满足，所以最小值为，故选A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数零点，线性规划，属于难题. 二、填空题。13.执行下面的程序框图，若，则输出的值为______.【答案】5【解析】【分析】根据框图，逐次循环即可求出答案.【详解】循环依次为，；，；，；，；结束循环，输出.【点睛】本题主要考查了框图，属于中档题. 14.锐角三角形ABC中，，，则面积的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由正弦定理可求出，代入三角形面积公式化简得,根据可求出其范围.【详解】∵，，可得：∴， ，∴∵，可得：，∴，可得：则面积的取值范围为【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角恒等变换，正弦型函数的值域，属于中档题. 15.四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为_____．【答案】【解析】如图所示，四棱锥中，可得：平面平面平面，过作于，则平面，故，在中，，设，则有，,又，则，四棱锥的体积取值范围为. 16.已知为双曲线（，）右支上的任意一点，经过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点.若点，分别位于第一、四象限，为坐标原点，当时，的面积为，则双曲线的实轴长为______.【答案】【解析】【分析】设，，，利用向量的坐标运算可得P点坐标，代入双曲线方程及A,B在渐近线上，化简可得，利用，可求出，代入三角形面积公式化简即可求解.【详解】设，，，由，得，则，，所以.易知点在直线上，点在直线上，则，，所以，化简可得.由渐近线的对称性可得：所以的面积为，得，所以双曲线的实轴长为.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，渐近线，向量运算，三角形面积公式，考查了推理及运算能力，属于难题. 三、解答题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知数列的前项和为，．（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用项和公式和累加法求的通项公式.(2)先求出，再利用放缩法得当时，，再证明.【详解】（1）当时，，解得；当时，，解得．当时，，，以上两式相减，得，∴，∴，∴（2）当时，，∴【点睛】(1)本题主要考查数列通项的求法，考查利用放缩法证明不等式，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是放缩当时，. 18.如图，在三棱锥中，，，，，，且在平面上的射影在线段上．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设二面角为，求的余弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质定理进行论证；因为在平面上的射影在线段上，所以，又根据勾股定理可得，因此（Ⅱ）求二面角，一般方法为利用空间向量，即先根据题意建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，再根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与法向量之间相等或互补的关系求二面角试题解析：（Ⅰ）证明：，，，，，．（Ⅱ）解：（法一）作垂足为，连接，则为二面角的平面角．在中，，，，，，，在中，，，，，又，，又，，．（法二）在中，，，，，，，在中，，，又，，又，，如图建立直角坐标系，，，，，平面的法向量为，平面的法向量为，．考点：线面垂直性质定理，利用空间向量求二面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”． 19.近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：表一1234567611213466101196  根据以上数据，绘制了如下图所示的散点图.（1）根据散点图判断，在推广期内，与（，均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，求关于的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表2表2支付方式现金乘车卡扫码比例10%60%30%  已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受7折优惠的概率为，享受8折优惠的概率为，享受9折优惠的概率为。根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用.参考数据：62.141.54253550.123.47  其中，参考公式：对于一组数据，，……，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.【答案】(1) 适宜 (2) ；3470；(3)1.66元【解析】【分析】（1）根据散点图可以判断拟合较好（2）两边取对数转化为线性回归方程问题，根据数据计算求出，再转化为，代入预测即可（3）记一名乘客乘车支付的费用为，写出的可能取值，并计算其概率，根据分布列求其期望即可.【详解】（1）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型；（2）∵，两边同时取常用对数得：；设，∴ ∵，，，∴，把样本中心点代入，得：，∴，∴，∴关于的回归方程式：；把带入上式，；活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470；（3）记一名乘客乘车支付的费用为，则的取值可能为：2，1.8，1.6，1.4；；；；.分布列为：21.81.61.40.10.150.70.05  所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：（元）【点睛】本题主要考查了非线性回归与线性回归方程的转化，散点图，分布列及期望，属于中档题. 20.如图，设抛物线的准线与轴交于椭圆的右焦点为的左焦点.椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于轴上方一点，连接并延长其交于点，为上一动点，且在之间移动.（1）当取最小值时，求和的方程；（2）若的边长恰好是三个连续的自然数，当面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线的方程．【答案】（1）（2）的面积最大值为．此时．【解析】试题分析：（1）由椭圆的性质可得，故可得，故而可求得和的方程；（2）因为，则，设椭圆的标准方程为，联立抛物线与椭圆的方程可得，得代入抛物线方程得，可得，可得直线与抛物线的方程，联立得，求出点到直线的距离，结合面积公式可得最值.试题解析：（1）因为，则，所以取最小值时，此时抛物线，此时，所以椭圆的方程为；（2）因为，则，设椭圆的标准方程为，由得，所以或（舍去），代入抛物线方程得，即，于是，又的边长恰好是三个连续的自然数，所以．此时抛物线方程为，，则直线的方程为．联立，得或（舍去），于是．所以，设到直线的距离为，则，当时，，所以的面积最大值为．此时． 21.已知函数.（1）当时，①求曲线在点处的切线方程；②求函数在区间上的值域.（2）对于任意，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）①②；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意可得函数的解析式，①利用导数研究切线方程可得曲线在点处的切线方程为.②利用导函数研究函数单调性可得在区间上的值域为.(2)原问题等价于.构造函数，分类讨论可得实数的取值范围是.试题解析：（1）当时，，①，由，，则曲线在点处的切线方程为，整理为：.②令，有，当时，，当时，得，解得：，故当时，，可得，函数在区间上单调递减， ， ，故函数在区间上的值域为.（2）由，有，故可化为.整理得：.即函数在区间为增函数， ，，故当时，，即，①当时，；②当时，整理为：，令，有 ，当，，，有，当时，函数单调递减，故，故有：，可得.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度  从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，，均异于原点，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据曲线的参数方程，消去参数，即可得到的普通方程；由两边同时乘以，即可得到，进而可得的直角坐标方程；(2)根据的直角坐标方程先得到其极坐标方程，将分别代入和的极坐标方程，求出和，再由，即可求出结果.【详解】（1）由消去参数，得的普通方程为.由，得，又，，所以的直角坐标方程为.（2）由（1）知曲线的普通方程为，所以其极坐标方程为.设点，的极坐标分别为，，则，，所以，所以，即，解得，又，所以.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、以及参数方程与普通方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型. 23.已知．（1）在时，解不等式；（2）若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】(1)根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，(2)先根据绝对值三角不等式化为恒成立，或恒成立，再根据恒成立含义得实数的取值.【详解】（1）在时，.在时，，∴；在时，，，∴无解；在时，，，∴.综上可知：不等式的解集为.（2）∵恒成立，而，或，故只需恒成立，或恒成立，∴或.∴的取值为或.【点睛】含绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.