湖南省湘潭市2020届高三第三次模拟考试数学（理）试题
展开科目：数学（理科）
（试题卷）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名写在答题卡和本试题卷的封面上，并认真核对答题卡条形码上的姓名和相关信息．
2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效．考生在答题卡上按如下要求答题：
（1）选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹．
（2）非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写．
（3）请勿折叠答题卡．保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁．
3．本试题卷共4页．如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负．
4．考试结束后，将答题卡交回．
姓名_________________ 准考证号______________
祝你考试顺利！
2020届高三模拟考试
数学（理科）
本试题卷分为第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共23小题，时量120分钟，满分150分．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．计算（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线平面，则“平面平面”是“直线平面”的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知数列的前项和满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．下表是鞋子的长度与对应码数的关系．
长度 | 25 | 25.5 | 26 | 26.5 | 27 | 27.5 |
码数 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 |
如果人的身高与脚板长呈线性相关且回归直线方程为．若某人的身高为，据此模型，估计其穿的鞋子的码数为（ ）
A．42 B．43 C．44 D．45
6．已知实数，满足约束条件则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．更相减损术出自《九章算术》，它原本是为约分而设计的，原文如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．如图所示的程序框图的算法思路就源于“更相减损术”若执行该程序框图，则输出的的值为（ ）
A．14 B．12 C．7 D．6
8．已知向量，是两个夹角为的单位向量，且，，，若，，三点共线，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
9．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数在上的最大值为1且单调递增，则的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．9 D．8
11．在直角坐标系中，，分别是双曲线的左、右焦点，位于第一象限上的点是双曲线上的一点，满足，若点的纵坐标的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知对任意实数都有，，若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．若直线经过抛物线的焦点，则________．
14．的展开式中的系数为________．
15．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．令，则数列的前50项和_________．
16．在三棱锥中，，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，，点到三边的距离相等，且点在平面上的射影落在内，则与平面所成角的正切值为________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．如图，已知四棱锥，平面，底面为矩形，，，为的中点，．
（1）求线段的长
（2）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值．
18．的内角所对的边分别为，已知．
（1）求角．
（2）设为边的中点，的面积为2，求的最小值．
19．高三年级某班50名学生的期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为，，，，，，，其中成等差数列且．物理成绩统计如下表．（说明：数学满分150分，物理满分100分）
分组 | |||||
频数 | 6 | 9 | 20 | 10 | 5 |
（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；
（2）根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；
（3）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一科为“优”的同学共有6人，从这6人中随机抽取3人，记为抽到两科为“优”的学生人数，求的分布列和数学期望．
20．椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上两动点，使得四边形为平行四边形，且平行四边形的周长和最大面积分别为8和．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆的另一交点为，当点在以线段为直径的圆上时，求直线的方程．
21．已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若存在两个极值点，，证明：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线和曲线的极坐标系方程；
（2）曲线分别交直线和曲线于，，求的最大值．
23．[选修4-5：不等式选讲]
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）设函数的最小值为，已知，求的最大值．
2020届高三模拟考试
数学参考答案（理科）
1．B 由题意，，则．
2．A 由复数的运算法则可得．
3．B 若直线平面，平面平面，此时直线与平面可能平行、相交或，所以充分性不成立；若直线平面，直线平面，则平面平面，所以必要性成立，故选B．
4．A 由已知，可得．两式相减得，即．
∵∴，∴是首项为6，公比为3的等比数列，从而．
5．C 由，解得，所以脚板长为，查表得，穿的鞋子的码数应为44．
6．C 根据约束条件，画出可行域图中阴影部分为可行域．
目标函数，表示可行城中的点与连线的斜率，由图可知点与连线的斜率最大，故的最大值为．
7．A ；
；
．
，输出．
8．A 由三点共线，得，故解得，则．
9．C 由题易知函数为偶函数，排除A选项；
当时，，所以，排除B选项；
当时，，，所以函数在上单调递增，排除D选项．
10．D 由题意可知，，，，，则，．
11．D 由，可得，又，解得，由于，所以，即，，解得．
12．C 由，，解得，
故，在处取得极小值．
根据图象，欲使解集中恰有两个整数，则比较点与四个点，，，连线的斜率，由，可得．
13． 可化为，焦点坐标为，故．
14． 二项式的展开通项为，
当时，，所以的系数为．
15． 因为，，，由题意得，解得，所以，则，则．
16． 如图，设点在平面上的射影为点，
因为点到三边的距离相等，则点到三边的距离相等，
又点在平面上的射影落在内，
所以点为的内心．设的内切圆与直角边，分别相切于，，易知四边形是正方形．因为，且，，所以，则的内切圆半径，所以．因为平面，所以为与平面所成的角．因为，所以，所以与平面所成角的正切值为．
17．解：（1）分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则．
所以，．
因为，所以，
即，解得，
所以的长为4．
（2）因为，所以，又，，
故，．
设为平面的法向量，则，即
取，解得，，
所以为平面的一个法向量．
显然，为平面的一个法向量，
则，
据图可知，二面角的余弦值为．
18．解：（1）由已知可得，
得，
所以，所以．
（2）由，即，所以．
由，所以，
则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
19．解：（1）根据频率分布直方图得，
又，
解得，，，
故数学成绩的平均分
（分）．
（2）总人数为50，由物理成绩统计表知，中位数在区间内，
所以物理成绩的中位数约为75分．
（3）数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”的有5人，
因为至少有一科为“优”的同学共有6名，
所以两科均为“优”的人数为3，
故的可能取值为0，1，2，3．
，
，
．
所以的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | |
．
20．解：（1）由平行四边形的周长为8，可知，即．
由平行四边形的最大面积为，可知，
又，解得，．
所以椭圆方程为．
（2）注意到直线的斜率不为0，且过定点．
设，，，
由消得，
所以
因为，，
所以
．
因为点在以线段为直径的圆上，所以，即，
所以直线的方程或．
21．（1）解：函数的定义域为，，
令，则．
①当时，，恒成立，函数的单调递增区间为．
②当时，，方程有两根，，，
当时，；当时，；当，．
的单调递增区间为、，
单调递减区间为．
（2）证明：由（1）知，当时，存在两个极值点，，
函数在上单调递减，则，，
不妨设，则．
由于
，
且，所以，
则．
22．解：（1）由题可知直线的普通方程为，
直线的极坐标方程为．
曲线的普通方程为，
因为，
所以的极坐标方程为．
（2）直线的极坐标方程为，令，
则，所以．
又，
所以，
因为，则的最大值为．
23．解：（1）由已知不等式，得，
当时，不等式为，解得，所以；
当时，不等式为，解得，所以；
当时，不等式为，解得，此时无解．
综上，原不等式的解集为．
（2）因为，
所以，
又，
则，所以的最大值为．
