湖南省湘潭市2020届高三第三次模拟考试数学（文）试题

2020届高三模拟考试

数学（文科）

本试题卷分为第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共23小题，时量120分钟，满分150分．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数为纯虚数，则实数（    ）

A． B．0 C．5 D．

3．已知直线平面，则“平面平面是”是“直线平面”的（    ）

A．充分但不必要条件  B．必要但不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

4．已知数列是公差为的等差数列，且成等比数列，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．下表是鞋子的长度与对应码数的关系．

如果人的身高与脚板长呈线性相关且回归直线方程为．若某人的身高为，据此模型，估计其穿的鞋子的码数为（    ）

A．42 B．43 C．44 D．45

6．已知实数，满足约束条件则的最大值为（    ）

A．1 B．4 C．8 D．10

7．更相减损术出自《九章算术》，它原本是为约分而设计的，原文如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．如图所示的程序框图的算法思路就源于“更相减损术”若执行该程序框图，则输出的的值为（    ）

A．14 B．12 C．7 D．6

8．已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

9．函数的图象大致为（    ）

A．    B．    C．    D．

10．已知函数在上的最大值为1且单调递增，则的最大值为（    ）

A．6 B．7 C．9 D．8

11．在直角坐标系中，，分别是双曲线的左、右焦点，位于第一象限上的点是双曲线上的一点，满足，若点的纵坐标的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

12．己知函数是减函数，则正数（    ）

A．9 B． C．3 D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．若直线经过抛物线的焦点，则________．

14．函数的定义域为________．

15．已知数列是公比为3的等比数列，其前项和满足，则________．

16．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，，则球的表面积为_______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面，，，为的中点．

（1）证明：．

（2）若为线段上一点，且，求点到平面的距离．

18．的内角所对的边分别为，已知．

（1）求角．

（2）设为边的中点，的面积为2，求的最小值．

19．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台。某单位共有党员200人（男女各100人），从2019年1月1日起在“学习强国”学习平台学习。现统计他们的学习积分，成绩分组区间为，，，，，得到如下女党员的频率分布直方图和男党员的频数分布表．

女党员

男党员

（1）已知女党员中积分不低于6千分的共有72人，求图中与的值；

（2）估计女党员学习积分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）和女党员学习积分的中位数（精确到0.1千分）；

（3）若将学习积分不低于8千分的党员视为学习带头人，完成下面列联表，并判断能否有95%的把握认为该单位的学习带头人与性别有关．

相关公式及数据：

20．椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上两动点，使得四边形为平行四边形，且平行四边形的周长和最大面积分别为8和．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆的另一交点为，当点在以线段为直径的圆上时，求直线的方程．

21．已知函数．

（1）若曲线存在与轴垂直的切线，求的取值范围．

（2）当时，证明：．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]

已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线和曲线的极坐标系方程；

（2）曲线分别交直线和曲线于，，求的最大值．

23．[选修4-5：不等式选讲]

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）设函数的最小值为，已知，求的最大值．

2020届高三模拟考试

数学参考答案（文科）

1．B  由题意，，则．

2．A  由题可得，又为纯虚数，所以．

3．B  若直线平面，平面平面，此时直线与平面可能平行、相交或，所以充分性不成立；若直线平面，直线平面，则平面平面，所以必要性成立，故选B．

4．D  由成等比数列，得，即．已知，解得．

5．C  由，解得，所以脚板长为，查表得，穿的鞋子的码数应为44．

6．C  根据约束条件，画出可行域，图中阴影部分为可行域．

目标函数，表示直线与的截距，

由图可知当经过点时截距最大，故的最大值为8．

7．A  ；

；

．

，输出．

8．A  由三点共线，得，故解得．

9．C  由题易知函数为偶函数，排除A选项；

当时，，所以，排除B选项；

当时，，，所以函数在上单调递增，排除D选项．

10．D  由题意可知，，，，，则，．

11．D  由，可得，又，解得，由于，所以，即，，解得．

12．C  由是减函数，得对任意的，都有恒成立．设．

∵，，∴当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴在处取得最大值．又∵，∴对任意的，恒成立，即的最大值为，∴，解得．

13．  可化为，焦点坐标为，故．

14.  因为函数有意义，

所以，解得所以，所以的定义域为．

15．  由已知，可得，两式相减得，即，是，又∵，∴

16．  如图，将三棱锥补成长方体．

球为长方体的外接球，长、宽、高分别为，

则所以，所以球的半径，

则球的表面积为．

17．（1）证明：因为平面，所以，

因为底面为矩形，所以，

又，所以平面，则．

因为，为的中点，所以，

且，所以平面，

则.

（2）解：因为，所以，

．

设点到平面的距离为，

因为，所以，所以．

18．解：（1）由已知可得，

得，

所以，所以．

（2）由，即，所以．

由，所以，

则，当且仅当时取等号，

所以的最小值为．

19．解：（1）由女党员中积分不低于6千分的有72人，则低于6千分的有人，

所以，解得，

，解得．

（2）由频率分布直方图可知平均数为，

所以女党员学习积分的平均数为7.3千分．

设中位数为，

因为在与上的频率为，

所以，解得．

综上所述，平均数为7.3，中位数为7.5．

（3）列联表如下：

，

故没有95%的把握认为该单位的学习带头人与性别有关．

20．解：（1）由平行四边形的周长为8，可知，即．

由平行四边形的最大面积为，可知，

又，解得，．

所以椭圆方程为．

（2）注意到直线的斜率不为0，且过定点．

设，，，

由消得，

所以

因为，，

所以

．

因为点在以线段为直径的圆上，所以，即，

所以直线的方程或．

21．（1）解：由题可得，在上有解，

则，令，，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

所以是的最大值点，所以．

（2）证明：由，所以，

要证明，只需证，即证．

记，，在上单调递增，且，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

所以是的最小值点，，则，

故．

22．解：（1）由题可知直线的普通方程为，

直线的极坐标方程为．

曲线的普通方程为，

因为，

所以的极坐标方程为．

（2）直线的极坐标方程为，令，

则，所以．

又，

所以，

因为，则的最大值为．

23．解：（1）由已知不等式，得，

当时，不等式为，解得，所以；

当时，不等式为，解得，所以；

当时，不等式为，解得，此时无解．

综上，原不等式的解集为．

（2）因为，

所以，

又，

则，所以的最大值为．