安徽省定远县民族中学2020届高三5月模拟检测数学（理）试题
展开2020届高三下学期第三次（5月）模拟检测卷
理科数学
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.欧拉公式为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.一次考试中，某班学生的数学成绩近似服从正态分布，则该班数学成绩的及格率可估计为（成绩达到分为及格）（参考数据：）
A. B. C. D.
4.已知圈经过原点且圆心在轴正半轴上，经过点且倾斜角为的直线与圆相切于点，点在轴上的射影为点，设点为圆上的任意一点，则
A. B. C. D.
5.若，其中，则
A. B. C. D.
6.《算法统宗》 中有一图形称为“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五尺外方七尺有奇． 实际上，这是一种开平方的近似计算，即用 7 近似表示，当内方的边长为5 时， 外方的边长为， 略大于7．如图所示，在外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为
A. B. C. D.
7.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为
A. 40 B. 43 C. 46 D. 47
8.若的展开式中的系数为80，其中为正整数，则的展开式中各项系数的绝对值之和为
A. 32 B. 81 C. 243 D. 256
9.已知实数x，y满足，如果目标函数的最小值为，则实数
A. 7 B. 5 C. 4 D. 1
10.关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，最著名的属普丰实验和查理实验受其启发，我们可以设计一个算法框图来估计的值如图若电脑输出的的值为29，那么可以估计的值约为
A. B. C. D.
11.函数的图象大致为
A. B. C. D.
12.已知双曲线的左、右两个焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，该双曲线的离心率为，则
A. 2 B. 3 C. D.
第II卷 非选择题（共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题-第23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
14.数列满足： ， ， ，令，数列的前项和为，则__________．
15.已知三棱柱的底面是正三角形，侧棱底面ABC，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则的长度为______．
16.已知函是奇函数，，且与的图象的交点为，，，，则______．
三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17. （本小题满分12分）
已知的内角所对的边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求.
18. （本小题满分12分）
已知四棱锥中，底面为菱形，，平面，、分别是、上的中点，直线与平面所成角的正弦值为，点在上移动.
（Ⅰ）证明：无论点在上如何移动，都有平面平面；
（Ⅱ）求点恰为的中点时，二面角的余弦值.
19. （本小题满分12分）
已知是抛物线上不同两点.
（1）设直线与轴交于点，若两点所在的直线方程为，且直线恰好平分，求抛物线的标准方程.
（2）若直线与轴交于点，与轴的正半轴交于点，且，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
20. （本小题满分12分）
某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为及以上的花苗为优质花苗.
求图中的值，并求综合评分的中位数.
用样本估计总体，以频率作为概率，若在两块试验地随机抽取棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；
填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为优质花苗与培育方法有关.
附：下面的临界值表仅供参考.
（参考公式：，其中.）
21. （本小题满分12分）
已知函数在处取得极小值.
（1）求实数的值；
（2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为为参数).
(Ⅰ)求曲线的极坐标方程；
(Ⅱ)若曲线向左平移一个单位,再经过伸缩变换得到曲线，设为曲线上任一点，求的最小值，并求相应点M的直角坐标.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数（）.
（1）证明： ；
（2）若，求的取值范围.
参考答案
1.C 2.B 3.D 4.C 5.C 6.A 7.C 8.C 9.B 10.A 11.A 12.D
13.
14.
15.
16.
17.（1）（2）.
解析：（1）由已知，
结合正弦定理得> ，
所以，
即，即，
因为，所以.
（2）由，得，即，
又，得，
所以，又，∴.
18.（Ⅰ）连接
∵底面为菱形，，
∴是正三角形，
∵是中点，∴
又，∴
∵平面，平面，
∴，又
∴平面，又平面
∴平面平面.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∵平面，
∴就是与平面所成的角，
在中，，即，
设，则，得，
又，设，则，
所以，
从而，∴，
则，，，，，
，，
所以，，，
设是平面一个法向量，则
取，得
又平面，∴是平面的一个法向量，
∴
∴二面角的余弦值为.
19.（1）（2）方程为．
（1）设，由，消去整理得，
则， ∵直线平分， ∴，
∴，即： ，
∴，满足，∴抛物线标准方程为．
（2）由题意知，直线的斜率存在，且不为零，
设直线的方程为： ，
由，得， ∴，
∴，
∵， ∴， ∵， ∴．
∴直线的方程为： ．
假设存在直线，使得，即，
作轴， 轴，垂足为，
∴，
∵， ，
∴，由，得，
故存在直线，使得，直线方程为．
20.由，
解得
令得分中位数为，由解得
故综合评分的中位数为
由与频率分布直，优质花苗的频率为，即概率为，
设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为，则，于是，
其分布列为：
所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望
结合与频率分布直方图，优质花苗的频率为，则样本种，优质花苗的颗数为棵，列联表如下表所示：
可得
所以，有的把握认为优质花苗与培育方法有关系.
21.（1）∵
∴
由已知得.
∴
∴在上单调递减，在上单调递增
∴在处取得极小值，符合题意，故.
（2）由（1）知函数.
∵函数图象与轴交于， 两个不同点
∴，两式相减整理得： .
∵
∴
令，即.
∵
∴
令.
∵
∴
∴
设则
∵
∴
∴在上是增函数
∴
∴无解，即.
∴不是的根
22.（I）;（Ⅱ）， 的坐标为或.
（I）由 （为参数）得曲线的普通方程为
得曲线的极坐标方程为.
（Ⅱ），向左平移一个单位再经过伸缩变换得到曲线的直角坐标方程为，设，则
当时， 的最小值为，
此时点的坐标为或.
23.（1）证明：因为，
又，所以
所以.
（2）可化为，
因为，所以 （*）
①当时，不等式（*）无解.
②当时，不等式（*）可化为，
即，解得，
综上所述，
