安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷（五）数学（理）试题

2020届模拟05

理科数学

测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．设,,，则            （     ）

A． B． C． D．

2．若复数满足，其中为虚数单位，则复数的共轭复数所对应的点位于                                                    （     ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知幂函数是定义在区间上的奇函数，设，则               （     ）

A． B． C． D．

4．已知双曲线的两个实轴顶点为，点为虚轴顶点，且，则双曲线的离心率的范围为             （     ）

A． B． C． D．

5．已知桌子上有同一副纸牌中的红桃、方片、梅花的纸牌各3张，若小李第一次从中抽取了1张红桃和2张其他纸牌后不再放回，则第二次从中抽取了1张红桃和2张方片的概率为                                 （     ）

A． B． C． D．

6．已知向量，函数在区间上单调，且的最大值是，则         （     ）

A．2 B． C． D．1

7．如图所示的程序框图，若输入的，则输出的             （     ）

A．10 B．11 C．12 D．13

8．设是的对角线的交点，三角形的高为2，为任意一点，则                     （     ）

A．6 B．16 C．24 D．48

9．设满足约束条件，则的取值范围为                                                        （     ）

A． B． C． D．

10．已知数列满足,，

则展开式中的常数项为                        （     ）

A． B． C．80 D．160

11．如图，已知六个直角边均为1和的直角三角形围成的两个正六边形，则该图形绕着旋转一周得到的几何体的体积为                （     ）

A． B． C． D．

12．已知函数，若函数在上有3个零点，则实数的取值范围为                                      （     ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）

13．已知抛物线，是上的一点，若焦点关于的对称点落在轴上，则              .

14．南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式．例如方亭(正四梭台)体积为

其中为上底边长，为下底边长，为高．杨辉利用沈括隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有层，最下层(即下底)由个球组成，杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下：根据以上材料，我们可得          .

15．某一几何体三视图如图所示，已知几何体的体积为，则俯视图的面积为              .

16．在中，分别是的中点，且，若的面积不小于，则的最小值为              .

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（12分）已知数列的前项和记为,，；

等差数列中，且的前项和为，.

（1）求与的通项公式；

（2）设数列满足，求的前项和.

18．（12分）京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家，京剧艺术大师梅兰芳先生，某电视台《我爱京剧》的一期比赛中，2位“梅派”传人和4位京剧票友（资深业余爱好者）在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段，假设6位演员的演唱水平相当，由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人.

（1）此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查，根据调查得到的数据如下：

试问：在犯错误的概率不超过多少的前提下，可以认为年龄的大小与对京剧知识的了解有关系？

（2）若在一轮中演唱中，每猜出一位亮相一位，且规定猜出2位“梅派”传人”或猜出5人后就终止，记本轮竞猜一共竞猜次，求随机变量的分布列与期望.

参考数据：

参考公式：

19．（12分）在如图（1）梯形中，，

过作于，，沿翻折后得图（2），使得，又点满足，连接，且.

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值.

20．（12分）已知椭圆的左、右焦点为，左右两顶点，点为椭圆上任意一点，满足直线的斜率之积为，且的最大值为4.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知直线与轴的交点为,过点的直线与椭圆相交与两点，连接点并延长,交轨迹于一点.求证：.

21．（12分）已知函数在点处的切线方程为.

（1）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；

（2）设，对于，的值域为，若，求实数的取值范围.

请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．

22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程

已知直线的普通方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为，将直线向右平移2个单位后得到直线，又点的极坐标.

（1）求直线以及曲线的极坐标方程；

（2）若直线与曲线交于两点，求三角形的面积值.

23．（10分）选修4—5不等式选讲

已知函数

（1）若，求不等式的解集；

（2）当时，若的最小值为2，求的最小值.

2020届模拟05理科数学答案与解析

1．【答案】B【解析】因为，所以．

2．【答案】C【解析】由得，所以，所以对应的点在第三象限.

3．【答案】A【解析】因为幂函数在区间上是奇函数，所以，

即，因为，又为增函数，所以.

4．【答案】A【解析】根据题意，，所以为钝角，所以，所以.

5．【答案】C【解析】设A=｛抽取1张红桃和2张其他纸牌｝；B=｛第二次从中抽取1张红桃和2张方片｝；，

所以.

6．【答案】D【解析】

，

由题意：,,，即，

所以.

7．【答案】C【解析】输入的，程序框图运行如下：

，;，；

，;，；

，；

，；

，；所以输出的

8．【答案】B【解析】因为，在向量的射影为，

所以.

9．【答案】A【解析】由约束条件作出可行域如图，

令，则表示点和两点的距离，由图可得，,

联立，解得，所以

过作于，则，故.

10．【答案】D【解析】因为，所以数列为等比数列，所以，所以，

所以，其中展开式的第r+1项为,令，得（舍去），令可得，所以二项式展开式中常数项为．

11．【答案】B【解析】外面的六边形旋转得到的几何体的体积为，内部的六边形旋转得到的几何体的体积为，所以几何体的体积为.

12．【答案】B【解析】当时，，所以，又时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，

.;

，所以的值域为，设与相切时的切点为，所以切线方程为，代入，得，

故切线的斜率为，所以与的图象如下：

根据题意，，故，所以实数的取值范围为.

13．【答案】6【解析】根据题意，为的中点，所以的横坐标为，所以.

14．【答案】【解析】观察规律令，可得.

15．【答案】【解析】这个几何体为一个四棱锥，直观图如下，设四棱锥的高为，几何体的体积为，即点到平面的距离为，俯视图为一个正三角形，边长为2，所以俯视图的面积为，

16．【答案】【解析】根据题意，画出图形，如图所示：

又点分别为的中点，则，

所以在中，由余弦定理得

,，

所以，

又若的面积不少于6，

所以

当取最大时，有最小值，最小值为.

17．【解析】

（1），

又，，所以数列为等比数列，（3分）

设数列的公差为，.（6分）

（2）由题意得：（9分）

所以前项和.（12分）

18．【解析】

（1）因为，（3分）

所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.

（5分）

（2）由题意，随机变量的取值分别为.（6分）

,，

,，（10分）

随机变量的分布列为：

                                                               （11分）

随机变量的期望为：.（12分）

19．【解析】

（1）连接与交于点，，则

，，（2分）

又平面，平面，

∴平面.（4分）

（2）证明：由，得四边形为平行四边形，所以，，所以，

所以，（6分）

又，所以平面，所以，

又，平面ADE.（8分）

以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，

所以，（9分）

设平面BMD的一个法向量为，

所以

令，则，（10分）

又平面得一个法向量为，（10分）

所以，

又平面与平面所成的二面角显然为锐角，

所以平面与平面所成的二面角的余弦值.（12分）

20．【解析】

（1）根据题意，（1分）

又设，所以，所以，（3分）

故，从而椭圆的标准方程为.（4分）

（2）根据题意，，所以设直线的方程，

联立，消得，

，即. 

设，则.

由根与系数的关系得，.（7分）

设直线的方程为，

所以，得，

.（10分）

所以

故，所以.（12分）

21．【解析】

因为，所以，

又，故.（2分）

（1）由题意得，若函数存在单调减区间，

则即存在取值区间，

即存在取值区间，所以.（5分）

（2）因为，所以

①当时，，在上单调递减，由，

所以，即，得；（7分）

②当时，，在上单调递增，

所以，即，得，（8分）

③当时，在，，在上单调递减，

在，，在上单调递增，

所以，即.（10分）

令,，则，所以在上单调递减，

故，而，所以不等式（）无解，

综上所述，.（12分）

22．【解析】

（1）直线的普通方程为，直线的极坐标方程，（3分）

曲线的普通方程，

所以.（5分）

（2）由（1）得，

所以，（8分）

点到直线的距离为，所以.（10分）

23．【解析】

（1）根据题意，

，（3分）

解，或，得或，

所以解集为.（5分）

（2）因为，

当且仅当时，等号成立，（8分）

又，所以，

所以的最小值为，所以.所以

.（10分）