安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷（五）数学（文）试题
展开2020届模拟05
文科数学
测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设,,，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，其中为虚数单位，则复数的共轭复数所对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知幂函数是定义在区间上的奇函数，设，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的两个实轴顶点为，点为虚轴顶点，且，则双曲线的离心率的范围为 （ ）
A． B． C． D．
5．2016年五一期间，各大网站纷纷推出各种“优惠劵”.在此期间，小明同学对本小区某居民楼的20名住户在假期期间抢得“优惠劵”的数量进行调查得到如下表格
抢得“优惠劵”数量（个） | ||||
人数 | 2 | 7 | 8 | 3 |
则该小区50名住户在2016年“五一”期间抢得的“优惠劵”个数约为（ ）
A．30 B．1500 C．26 D．1300
6．已知向量，函数在区间上单调，且的最大值是，则 （ ）
A．2 B． C． D．1
7．如图所示的程序框图，若输入的，则输出的 （ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
8．设是的对角线的交点，三角形的高为2，为任意一点，则 （ ）
A．6 B．16 C．24 D．48
9．设满足约束条件，则的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
10．设函数，且，则不等式的解集为 （ ）
A． B．
C． D．
11．如图，已知六个直角边均为1和的直角三角形围成的两个正六边形，则该图形绕着旋转一周得到的几何体的体积为 （ ）
A． B． C． D．
12．已知函数满足，且时，，又，则函数在区间上零点的个数为 （ ）
A．2015 B．2016 C．2017 D．2018
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）
13．已知抛物线，是上的一点，若焦点关于的对称点落在轴上，则 .
14．南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式．例如方亭(正四梭台)体积为
其中为上底边长，为下底边长，为高．杨辉利用沈括隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有层，最下层(即下底)由个球组成，杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下：根据以上材料，我们可得 .
15．某一几何体三视图如图所示，已知几何体的体积为，则俯视图的面积为 .
16．已知数列满足，且，记数列的前项和为，若不等式对任意都成立，则实数的最大值为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12分）在中，分别是的中点，，且.
（1）求的面积；
（2）求的值.
18．（12分）京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家，京剧艺术大师梅兰芳先生，某电视台《我爱京剧》的一期比赛中，2位“梅派”传人和4位京剧票友（资深业余爱好者）在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段，假设6位演员的演唱水平相当，由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人.
（1）此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查，根据调查得到的数据如下：
| 京剧票友 | 一般爱好者 | 合计 |
50岁以上 | 15 | 10 | 25 |
50岁以下 | 3 | 12 | 15 |
合计 | 18 | 22 | 40 |
试问：在犯错误的概率不超过多少的前提下，可以认为年龄的大小与对京剧知识的了解有关系？
（2）若在一轮中演唱中，每次猜出3位亮相，求至少1位是“梅派”传人”的概率.
参考数据：
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 |
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式：
19．（12分）在如图（1）梯形中，，
过作于，，沿翻折后得图（2），使得，又点满足，连接，且.
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥外接球的体积.
20．（12分）已知椭圆的左、右焦点为，左右两顶点，点为椭圆上任意一点，满足直线的斜率之积为，且的最大值为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与过点且与轴垂直的直线交于点，过点作，垂足分别为两点，求证：.
21．（12分）已知函数.
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
（2）当且时，函数的图象总在直线的下方，求实数的取值范围.
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程
已知直线的普通方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为，将直线向右平移2个单位后得到直线，又点的极坐标.
（1）求直线以及曲线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，求三角形的面积值.
23．（10分）选修4—5不等式选讲
已知函数
（1）若，求不等式的解集；
（2）当时，若的最小值为2，求的最小值.
2020届模拟05文科数学答案与解析
1．【答案】B【解析】因为，所以．
2．【答案】C【解析】由得，所以，所以对应的点在第三象限.
3．【答案】A【解析】因为幂函数在区间上是奇函数，所以，
即，因为，又为增函数，所以.
4．【答案】A【解析】根据题意，，所以为钝角，所以，所以.
5．【答案】D【解析】由数据可知四个组的频率分别为，所以每一人抢得“优惠劵”的平均数为所以该班50名住户在2016年“五一”期间抢得的“优惠劵”个数约为个.故选D.
6．【答案】D【解析】
，由题意：,,，即，所以.
7．【答案】C【解析】输入的，程序框图运行如下：
，;，；
，;，；
，；
，；
，；所以输出的
8．【答案】B【解析】因为，在向量的射影为，所以.
9．【答案】A【解析】由约束条件作出可行域如图，
令，则表示点和两点的距离，由图可得，，联立，解得，所以过作于，则，故
10．【答案】A【解析】，即，解得.
故，可以判断函数为增函数，所以，
所以解集为.
11．【答案】B【解析】外面的六边形旋转得到的几何体的体积为，内部的六边形旋转得到的几何体的体积为，所以几何体的体积为.
12．【答案】C【解析】，所以的一个周期为2，当时，，所以，所以，
的最大值为1，与的图象如下：
在区间内有一个根，在内有1008个周期，每个周期内均有2个根，所以共有2017个零点 .
13．【答案】6【解析】根据题意，为的中点，所以的横坐标为，所以.
14．【答案】【解析】观察规律令，可得.
15．【答案】【解析】这个几何体为一个四棱锥，直观图如右图，
设四棱锥的高为，几何体的体积为，
即点到平面的距离为，俯视图为一个正三角形，
边长为2，所以俯视图的面积为，
16．【答案】2【解析】根据题意得，
；
所以，，
当时，单调递增，所以，故.
17．【解析】
（1），
；（4分）
又，所以，所以的面积为.（6分）
（2）根据题意，画出图形，如图所示：
又点分别为的中点，则，（7分）
所以在中，由余弦定理得
，
，（9分）
所以.（12分）
18．【解析】
（1）因为，（3分）
所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.（5分）
（2）记4位票友为，2位“梅派”传人”为，则从中选出3位的所有结果有
共20种，（8分）
其中至少1位是“梅派”传人”的结果为
，.（10分）
有16种，所以满足条件的概率为.（12分）
19．【解析】
（1）连接与交于点，，则
，，（2分）
又平面，平面，平面.（4分）
（2）证明：由，得四边形为平行四边形，
所以，，所以，
所以，（6分）
又，所以平面，所以，
又，平面.（8分）
以为棱，构造长方体，所以长方体外接球与三棱锥的外接球相同，所以外接球的直径为，（11分）
所以球的体积为.（12分）
20．【解析】
（1）根据题意，（1分）
又设，所以，所以，（3分）
故，从而椭圆的标准方程为.（4分）
（2）证明：设直线，则：,的中点为为，
联立，消去整理得：
设，由韦达定理得：，
解得：，故有：，（7分）
又，所以当时，，，此时轴，
所以四边形为矩形，所以，所以.（8分）
当时，，所以直线，
即：，
所以点到直线的距离，（10分）
而，即知：，所以以为直径的圆与直线相切，
所以四边形为直角梯形，的中点为，
所以.（12分）
21．【解析】
（1）依题意，，故，
则，解得；（3分）
（2）依题意，当时，，
即，令，
下面证明在恒成立；先分析函数在上的单调性；
；令；
当时，图象开口向下，在上有两个零点1和，
①当时，，此时，在上单调递减；
②当时，，此时当，可得；
，可得或.
在上单调递增；在，上单调递减.
③当时，，此时当，可得；
，可得或.
在上单调递增；在，上单调递减；
因为函数过点，且当时，在为减函数，
，符合题意.
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，不符合题意，舍去.综上所述，的取值范围为.（12分）
22．【解析】
（1）直线的普通方程为，直线的极坐标方程，（3分）
曲线的普通方程，
所以.（5分）
（2）由（1）得，所以，（8分）
点到直线的距离为，所以.（10分）
23．【解析】
（1）根据题意，
，（3分）
解，或，得或，
所以解集为.（5分）
（2）因为，
当且仅当时，等号成立，（8分）
又，所以，
所以的最小值为，所以.所以
.（10分）
