北京市2020届高三高考模拟数学试题

2020北京高考模拟试卷

数学

一.选择题（共10小题）

1.若复数z满足，则复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出．

【详解】解：，

＝2﹣i在复平面内所对应的点（2，﹣1）位于第四象限．

故选：D．

【点睛】本题考查了复数运算法则、几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

2.已知集合,，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

分别求出集合、的值，由补集和并集的概念可得的值，可得答案.

【详解】解：依题意，,，故，故，

故选：D.

【点睛】本题主要考查集合交并补运算，属于基础题型，注意运算准确.

3.下列函数中是偶函数并且在内单调递增的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用初等基本函数判断即可．

【详解】不是偶函数，故舍去

是偶函数，但在内不单调，故舍去

偶函数，单调递增满足题意．

不是偶函数，故舍去．

故选C

【点睛】本题属于基本题，考查了函数的奇偶性和单调性，学生要熟练基本初等函数的性质．

4.函数的值域为（    ）

A. , B. , C. , D.

【答案】C

【解析】

【分析】

求得的范围，结合指数函数单调性，即可求得函数值域.

【详解】，，

则.

函数的值域为,.

故选：.

【点睛】本题考查复合型指数函数值域的求解，属基础题.

5.在圆：中，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（    ）

A. 6 B. 12 C. 24 D. 36

【答案】B

【解析】

【分析】

先将圆的方程化为标准方程,得到其圆心坐标与半径,再结合直线与圆的位置关系可得､的值,进而求出答案.

【详解】圆的标准方程为:,

其圆心为,半径,

过点最长的弦长是直径,故,

最短的弦是与垂直的弦,又,

所以,即,

所以四边形的面积,

故选:B.

【点睛】本题考查直线与圆相交的性质,解题关键是明确和的位置关系,难度不大.

6.将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的倍得到曲线，则的解析式为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由三角函数平移和伸缩的性质，以及运用诱导公式化简，便可得出答案.

【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后,

得到曲线，的解析式为，

再将上所有点的横坐标伸长到原来的倍,

得到曲线的解析式为.

故选：B.

【点睛】本题考查三角函数图像的平移伸缩，结合应用诱导公式化简，属于简单题.

7.某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（    ）

A.  B.  C. 4 D.

【答案】B

【解析】

解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥 ，

其中面积最大的面为： .

本题选择B选项.

点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．

8.已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

分析】

先求出函数在处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数和的图象，利用数形结合进行求解即可.

【详解】当时，，所以函数在处的切线方程为：，令，它与横轴的交点坐标为.

在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示：

利用数形结合思想可知：不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是.

故选：A

【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.

9.已知数列是等比数列，前项和为，则“”是“”的（    ）

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等比数列的通项公式与求和公式,即可判断命题间的关系.

【详解】因为数列是等比数列,前项和为

若,由等比数列通项公式可得

,化简后可得.

因为

所以不等式的解集为

若

当公比时, 则,可得

当公比时, 由则,可得

综上可知, “”是“”的充分不必要条件

故选:B

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用,在应用等比数列求和公式时,需记得讨论公比是否为1的情况,属于中档题.

10.为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为(    )

A. 7班、14班、15班 B. 14班、7班、15班

C. 14班、15班、7班 D. 15班、14班、7班

【答案】C

【解析】

【分析】

分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级．

【详解】假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，

班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；

假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，

班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，

则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班；

假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，

班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．

综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班．

故选：C．

【点睛】本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

二.填空题（共5小题）

11.已知双曲线的左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C的离心率为________.

【答案】

【解析】

【分析】

由等腰三角形及双曲线的对称性可知或,进而利用两点间距离公式求解即可.

【详解】由题设双曲线的左、右焦点分别为,,

因为左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点,

当时,由可得,等式两边同除可得,解得（舍）；

当时,,由可得,等式两边同除可得,解得,

故答案为:

【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想.

12.已知向量，若向量与向量共线，则实数__________．

【答案】

【解析】

【分析】

先计算的坐标，再利用向量共线的坐标运算，即可求得参数.

【详解】因为，

故可得，

又向量与向量共线，

故可得，

解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查向量的坐标运算，以及由向量共线求参数范围的问题，属基础题.

13.如果抛物线上一点到准线的距离是6，那么______.

【答案】

【解析】

【分析】

先求出抛物线的准线方程，然后根据点到准线的距离为6，列出，直接求出结果.

【详解】抛物线的准线方程为，

由题意得，解得.

∵点在抛物线上，

∴，∴，

故答案为：.

【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.

14.在四边形中，且，则___________，___________

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

利用余弦定理求出 的值，利用勾股定理逆定理判断，由正弦定理和诱导公式即可求出的值.

【详解】解：在中，由余弦定理可知

即，.又，

所以.由，可知 .

.

故答案为: ;.

【点睛】本题考查了余弦定理，考查了正弦定理，考查了诱导公式.本题的关键是判断.在解三角形时，已知两边及其夹角或已知三边，一般套用余弦定理求解；已知两角及一角的对边，常用正弦定理解三角形.

15.已知定义在上的函数满足，且在单调递增，对任意的，恒有，则使不等式成立的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】

首先判断出为奇函数，然后根据题意将化为

，再由函数的单调性转化为解即可.

【详解】 定义在上的函数满足，

则，为奇函数，

又对任意的，恒有，

则，

即

在单调递增，

，即，解得

 故答案为：

【点睛】本题考查了函数的新定义，考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，属于中档题.

三.解答题（共6小题）

16.如图，已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，为等边三角形，且点P在底面上的射影为的中点G，点E在线段上，且.

（1）求证：平面.

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

【分析】

（1）由等腰梯形的性质可证得,由射影可得平面,进而求证；

（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面与平面的法向量,再利用数量积求解即可.

【详解】（1）在等腰梯形中,

点E在线段上,且,

点E为上靠近C点的四等分点,

,,,

,

点P在底面上的射影为的中点G,连接,

平面,

平面,.

又,平面,平面,

平面.

（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,

由（1）易知,,,

又,,

,为等边三角形,,

则,,,,,

,,,,

设平面的法向量为,

则，即,

令,则,,,

设平面的法向量为,

则,即,

令,则,,,

设平面与平面的夹角为θ,则

二面角的余弦值为.

【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算能力与空间想象能力.

17.已知函数（k为常数，且）．

（1）在下列条件中选择一个________使数列是等比数列，说明理由；

①数列是首项为2，公比为2的等比数列；

②数列是首项为4，公差为2的等差数列；

③数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．

（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前n项和.

【答案】（1）②，理由见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）选②，由和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论；

（2）运用等比数列的通项公式可得，进而得到，由数列的裂项相消求和可得所求和.

【详解】（1）①③不能使成等比数列.②可以：由题意，

即，得，且，.

常数且，为非零常数，

数列是以为首项，为公比的等比数列．

（2）由（1）知，所以当时，.

因为，

所以，所以，

.

【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题.

18.某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与.

（1）求甲参加围棋比赛的概率；

（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率.

【答案】（1）； （2）.

【解析】

【分析】

（1）根据题意得到甲同学的选择的情况，从而得到概率；

（2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1,2,3,4，列出所有的情况，在得到符合要求的情况，由古典概型的公式，得到答案.

【详解】（1）依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，

所以甲同学选择的情况有“中国象棋”和“围棋”，或“中国象棋”和“五子棋”，

故甲参加围棋比赛的概率为；

（2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1,2,3,4，

则所有的可能为，，，，，，，，，，，，

其中满足条件有，两种，

故所求概率.

【点睛】本题考查随机事件的概率，求古典概型的概率，属于简单题

19.已知函数，实数.

（1）讨论函数在区间上的单调性；

（2）若存在，使得关于x的不等式成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）采用分类讨论的方法，与，根据导数判断原函数的单调性，可得结果.

（2）化简式子，并构造函数，计算，然后再次构造函数，利用导数判断的单调情况，可得结果.

【详解】（1）由题知的定义域为，

.

∵，，∴由可得.

（i）当时，

，当时，单递减；

（ii）当时，，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

综上所述，时，在区间上单调递减；

当时，在区间上单调递减，

在区间上单调递增.

（2）由题意：不等式在成立

即在时有解.

设，，只需.

则，因为，

所以在上，，

在上，.

所以在上单调递减，在上单调递增.

因此.

不等式在成立，

则恒成立.

又，所以恒成立.

令，则.

在上，，单调递增；

在上，，单调递减.

所以.

因此解可得且，

即且.

所以实数a的取值范围是.

【点睛】本题考查导数的综合应用，难点在于构造函数研究性质，化繁为简，考验分析能力以及逻辑思维能力，掌握等价转化思想以及分类讨论的方法，属难题.

20.椭圆：（）的离心率为，它的四个顶点构成的四边形面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线恒过一个定点.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，即可得出椭圆方程；

（2）设点，，，由，，结合斜率公式化简得出，，即，满足，由的任意性，得出直线恒过一个定点.

【详解】（1）依题意得，解得

即椭圆：；

（2）设点，，

其中，

由，得，

即，

注意到，

于是，

因此，满足

由的任意性知，，，即直线恒过一个定点.

【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程，直线过定点问题，属于中档题.

21.定义：若数列满足所有的项均由，1构成且其中有个，1有个，则称为“数列”.

（1），，为“数列”中的任意三项，则使得的取法有多少种？

（2），，为“数列”中的任意三项，则存在多少正整数对使得，且的概率为.

【答案】（1）16种；（2）共有115个数对符合题意.

【解析】

【分析】

（1）将问题分为“，，1”，“1，1，1”两种情况，结合分类计数原理，即可容易求得结果；

（2）根据古典概型的概率计算，以及组合数的计算，根据之间的关系，分类讨论解决问题.

【详解】（1）三个数乘积为1有两种情况：“，，1”，“1，1，1”，

其中“，，1”共有：种，“1，1，1”共有：种，

利用分类计数原理得：

，，为“数列”中的任意三项，

则使得的取法有：种.

（2）与（1）基本同理，“，，1”共有种，“1，1，1”共有种，

而在“数列”中任取三项共有种，

根据古典概型有：，

再根据组合数的计算公式能得到：

，

①时，应满足，

,,，,3,4,,，共99个，

②时，

应满足，

视为常数，可解得，

，，

根据可知，，（否则，

下设，则由于为正整数知必为正整数，

，，

化简上式关系式可以知道：，

，均为偶数，设，，则，

，由于，中必存在偶数，

只需，中存在数为3的倍数即可，

，3，5，6，8，9，11，，23，24，

，11，13，，47，49.

检验：，符合题意，

共有16个，

综上所述：共有115个数对符合题意.

【点睛】本题考查古典概型、分步计数原理，组合问题的求解，涉及方程和不等式，属综合困难题.