北京市大兴区2020届高三第一次模拟考试数学试题

2019~2020学年度北京市大兴区高三第一次综合练习数学第一部分（选择题  共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】在复平面内，复数==1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选D．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知集合，，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】直接根据交集运算，即可得答案；【详解】，，，故选：D.【点睛】本题考查集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题.3.已知等差数列的前n项和为，，，则等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据数列的通项公式可求得的值，再代入前项和公式，即可得答案；【详解】，故选：B.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.4.下列函数中，在区间上单调递增且存在零点的是（    ）A  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得答案；【详解】对A，方程无解，不存在零点，故A错误；对B，无解，不存在零点，故B错误；对D，在单调递减，在单调递增，在不具有单调性，故D错误；故选：C.【点睛】本题考查通过函数的解析式研究函数的零点和单调性，考查转化与化归思想，属于基础题.5.在的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含项的系数等于（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据展开式的第三项的二项式系数最大可得，再由二项式展开式的通项公式，即可得答案；【详解】由题意得，，当时，，含项的系数等于，故选：A.【点睛】本题考查二项式定理的运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意二项式系数与系数的区别.6.若抛物线上一点M到其焦点的距离等于2，则M到其顶点O的距离等于（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】设点，根据焦半径公式可求得的坐标，再利用两点间的距离公式，即可得答案；【详解】设点，为抛物线的焦点，，，，故选：C.【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，考查运算求解能力，属于基础题.7.已知数列是等比数列，它的前项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的（    ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据这一关系，即可得答案；【详解】，，，“数列为递增数列”，若“数列为递增数列”，则，“对任意，”是“数列为递增数列”的充分必要条件，故选：C.【点睛】本题考查与的关系、充分必要条件的判断，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.8.某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为，那么该几何体的最长棱的棱长为（    ）A. 3 B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据几何体的三视图可得，该几何体是四棱锥，再计算各条棱的长度，即可得答案；【详解】根据几何体的三视图可得，该几何体是四棱锥 ，，，，，，该几何体的最长棱的棱长为，故选：D.【点睛】本题考查利用三视图还原几何体的直观图、棱长的计算，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意准确还原几何体的直观图是关键.9.已知函数．若关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实根，则的最大整数值为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用换元法求出的取值范围，再根据三角函数的图象得到的不等式，即可得答案；详解】令，，，的图象如图所示，关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实根，在上有且仅有两个不相等的实根，，的最大整数值为，故选：B.【点睛】本题考查利用换元法和图象法解三角方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意换元后新元取值范围.10.如图，假定两点，以相同的初速度运动．点沿直线作匀速运动，；点沿线段（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离()．令与同时分别从，出发，那么，定义为的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是，其中e为自然对数的底．当点从线段的三等分点移动到中点时，经过的时间为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】设运动点三等分点的时间为，此时运动的距离为，运动点中点的时间为，此时运动的距离为，再利用做匀速运动，利用路程除以速度可得时间.【详解】设运动点三等分点的时间为，此时运动的距离为，运动点中点的时间为，此时运动的距离为，两点，以相同的初速度运动，设点的运动速度为，，，，，，故选：D.【点睛】本题考查数学中的新定义问题、对数的运算法则，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.第二部分（非选择题  共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知向量，， 若，则_______；【答案】【解析】分析】根据向量平行，向量坐标交叉相乘相等，即可得答案；【详解】，，故答案为：.【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.12.若函数在区间上单调减区间，则m的一个值可以是_______；【答案】（答案不唯一，只要）【解析】【分析】由题意可得在区间上恒成立，即可得答案；【详解】，，在区间上恒成立，在区间上恒成立，取，显然恒成立，故答案为：.【点睛】本题考查余弦二倍角公式、三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，求解时注意结合三角函数的图象进行求解.13.若对任意，关于x的不等式恒成立，则实数的范围是_______；【答案】【解析】【分析】求出函数的最小值，即可得到答案；【详解】，，等号成立当且仅当，，故答案为：.【点睛】本题考查不等式恒成立问题求参数的取值范围，考查运算求解能力.14.已知为函数图象上两点，其中．已知直线AB的斜率等于2，且，则_______；______；【答案】    (1).     (2). 【解析】【分析】根据斜率公式和两点间的距离公式，即可求得答案；【详解】直线AB的斜率等于2，且，且，解得：，，；；故答案为：；.【点睛】本题考查直线的斜率公式和两点间的距离公式，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力运算求解能力，求解时注意对数的运算法则的应用.15.在直角坐标系中，双曲线（）离心率，其渐近线与圆 交轴上方于两点，有下列三个结论：① ；②存在最大值；③ ．则正确结论的序号为_______.【答案】①③【解析】【分析】根据双曲线离心率的范围可得两条渐近线夹角的范围，再根据直线与圆的位置关系及弦长，即可得答案；【详解】，，对①，根据向量加法的平行四边形法则，结合，可得成立，故①正确；对②，，由于，没有最大值，没有最大值，故②错误；对③，当时，，，又，，，故③正确；故答案为：①③.【点睛】本题考查向量与双曲线的交会、向量的数量积和模的运算，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在中，，，且的面积为．（1）求a的值；（2）若D为BC上一点，且             ，求的值．从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．【答案】（1）；（2）选①，；选②，．【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式得，再利用余弦定理，即可得答案；（2）①当时，由正弦定理，可求得，再由，可求得答案；②当时，由余弦定理和诱导公式，可求得答案；【详解】（1） 由于 ，，，所以，由余弦定理  ，解得．（2）①当时，在中，由正弦定理，    即，所以．             因为，所以．          所以，                        即．                          ②当时，在中，由余弦定理知，．          因为，所以，                   所以，                             所以 ，                           即．【点睛】本题考查正余弦定理、三角形面积公式、诱导公式等知识的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.17.为了调查各校学生体质健康达标情况，某机构M采用分层抽样的方法从校抽取了名学生进行体育测试，成绩按照以下区间分为七组：[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并得到如下频率分布直方图．根据规定，测试成绩低于60分为体质不达标．已知本次测试中不达标学生共有20人．（1）求的值；（2）现从校全体同学中随机抽取2人，以频率作为概率，记表示成绩不低于90分的人数，求的分布列及数学期望；（3）另一机构N也对该校学生做同样的体质达标测试，并用简单随机抽样方法抽取了100名学生，经测试有20名学生成绩低于60分．计算两家机构测试成绩的不达标率，你认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理，说明理由．【答案】（1）；（2）分布列详见解析，数学期望为0.2；（3）用机构M测试的不达标率估计A校不达标率较为合理，理由详见解析．【解析】【分析】（1）由频率分布直方图知，，解方程可得的值；（2）由图知，每位学生成绩不低于90分的频率为，由已知的所有可能取值为，再根据二项分布，即可得答案；（3）机构M抽测的不达标率为 ，机构N抽测的不达标率为，再从样本能否较好反映总体的分布情况说明理由．【详解】（1）由频率分布直方图知，，   解得．                                             （2）由图知，每位学生成绩不低于90分的频率为 ，    由已知，的所有可能取值为，                       则，，．                                  所以的分布列为X012P0.810.180.01  所以．                      （3）机构M抽测的不达标率为 ，                            机构N抽测的不达标率为．                          （以下答案不唯一，只要写出理由即可）①用机构M测试的不达标率估计A校不达标率较为合理．    理由：机构M选取样本时使用了分层抽样方法，样本量也大于机构N，样本更有代表性，所以，能较好反映了总体的分布．                     ②没有充足的理由否认机构N的成绩更合理．                  理由：尽管机构N的样本量比机构M少，但由于样本的随机性，不能排除样本较好的反映了总体的分布，所以，没有充足的理由否认机构N的成绩更合理．【点睛】本题考查频率分布直方图、二项分布、样本与总体的关系，考查数据处理能力，求解时注意在说理由时要根据统计的相关知识来回答.18.如图，在三棱柱中，，，，是的中点，E是棱上一动点．（1）若E是棱的中点，证明：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）是否存在点E，使得，若存在，求出E的坐标，若不存在，说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）；（3）不存在，理由详见解析．【解析】【分析】（1）取中点为，连结，证明，再利用线面平行判定定理，即可证得结论；（2）先证明两两垂直，再建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面ABC的法向量为，再利用向量的夹角公式，即可得答案；（3）设，由，解得与假设矛盾，从而得到结论.【详解】（1）证明：取中点为，连结，在中，因为为的中点，所以且．又因为是的中点，，所以且，所以为平行四边形所以．               又因为平面，  ．平面，所以平面．      （2）连结，因为是等边三角形，是的中点，所以，因为，，所以．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以两两垂直．如图，建立空间直角坐标系，            则，，，，设平面的法向量为，则，                               即，                               令，则，，所以．                             平面ABC的法向量为，．又因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．            （3），，设，则，所以，，所以，假设，则，解得，                                   这与已知矛盾．不存在点E.【点睛】本题考查线面平行判定定理的运用、向量法求二面角的大小及利用向量证明直线垂直，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.19.已知椭圆的离心率为，且经过点，一条直线与椭圆C交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：为定值．【答案】（1）；（2）详见解析．【解析】【分析】（1）因为椭圆经过点，所以，再根据离心率，即可求得椭圆的方程；（2）①若直线的斜率存在时，，，，与椭圆方程联立，由可得，从而得到的关系，结合点到直线的距离公式，可证明结论；②若直线的斜率不存在，则有，可证结论也成立.【详解】（1）因为椭圆经过点，所以，又因为，则，由，得，所以椭圆的标准方程为．（2）①若直线的斜率存在时，设，与椭圆方程联立得：，有，  由题意，，设，，所以，．        因为以为直径的圆过原点，由，得 ，               即，整理得，，                             而  设h为到的距离，则所以，而，所以．             ②若直线的斜率不存在，则有，     不妨设，设，有，代入椭圆方程得，，，即，综上．【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、离心率的概念、椭圆中的定值问题，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对斜率进行讨论.20.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求证：函数有且只有一个零点．【答案】（1）；（2）详见解析．【解析】【分析】（1）对函数进行求导，求出切线的斜率和切点坐标，即可得答案；（2）函数的定义域为，要使函数有且只有一个零点，只需方程有且只有一个根，即只需关于x的方程在上有且只有一个解，利用导数可得函数在单调递增，再利用零点存在定理，即可得答案；【详解】（1）当时，函数，，，                                      ，，所以函数在点处的切线方程是．（2）函数的定义域为，要使函数有且只有一个零点，只需方程有且只有一个根，即只需关于x的方程在上有且只有一个解．设函数，                               则，                                     令，则，                                    由，得．                                    x单调递减极小值单调递增  由于，                               所以，所以在上单调递增，           又，，                             ①当时， ，函数在有且只有一个零点，②当时，由于，所以存在唯一零点．综上所述，对任意的函数有且只有一个零点．【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数证明函数的零点个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对函数进行二次求导的运用.21.已知数列满足：对任意的，若，则，且，设集合，集合中元素最小值记为，集合中元素最大值记为．（1）对于数列：，写出集合及；（2）求证：不可能为18；（3）求的最大值以及的最小值．【答案】（1），，；（2）详见解析；（3）的最大值为17， 的最小值为16．【解析】【分析】（1）由题意易得，，．        （2）利用反证法，假设，可推出，这一集合元素互异性的矛盾；（3）首先求，由（2）知，而是可能的；再证明：的最小值为16．【详解】（1）由题意易得，，.（2）证明：假设，设，则=，即，因为，所以，同理，设，可以推出，中有两个元素为1，与题设矛盾，故假设不成立，不可能为18．                              （3）的最大值为17，的最小值为16．①首先求，由（2）知，而是可能的．当时，                                  设则=即，                                     又得，即．同理可得：．                  对于数列：此时，，满足题意．所以的最大值为17；                             ②现证明：的最小值为16．先证明为不可能的，假设．             设，可得，即，元素最大值为10，所以．又，同理可以推出，矛盾，假设不成立，所以．数列为：时，，，中元素的最大值为16．所以的最小值为16．【点睛】本题考查集合的新定义和反证法的运用，考查反证法的证明，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于难题.