北京市房山区2020届高三第一次模拟检测数学试题

   房山区2020年第一次模拟检测高三数学本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）复数 （A）（B）（C）（D）（2）函数的最小正周期为（A）（B）（C）（D）（3）已知向量，，若与共线，则（A）（B）（C）（D）（4）在二项式的展开式中，的系数为（A）（B）（C）（D）（5）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（A）（B）（C）（D）（6）某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为（A）                                     （B）（C）                                      （D）       （7）已知函数若，且在上单调递增，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）（8）设是公差为的等差数列，为其前项和，则“”是“，”的（A）充分而不必要条件                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）已知直线：与圆：交于，两点，则使弦长为整数的直线共有（A）条（B）条（C）条（D）条（10）党的十八大以来，脱贫工作取得巨大成效，全国农村贫困人口大幅减少．下面的统计图反映了年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况（注：贫困发生率贫困人数（人）统计人数（人））．根据统计图提供的信息，下列推断不正确的是（A）年，全国农村贫困人口逐年递减（B）年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是年（C）年，全国农村贫困人口数累计减少万 （D）年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）已知集合，，，则___________．（12）设抛物线经过点，则抛物线的焦点坐标为___________．（13）已知是各项均为正数的等比数列，，，则的通项公式          ；设数列的前项和为，则          ．（14）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是          ．（15）如果方程所对应的曲线与函数的图象完全重合，那么对于函数有如下结论：      ①函数在上单调递减；                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              ②的图象上的点到坐标原点距离的最小值为；③函数的值域为；      ④函数有且只有一个零点． 其中正确结论的序号是              ．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。 三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）在△中，，，           ．（补充条件）（Ⅰ）求△的面积；（Ⅱ）求．从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。（17）（本小题14分）随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称app）获取新闻资讯．为了解用户对某款新闻类app的满意度，随机调查了名用户，调研结果如下表：（单位：人） 青年人中年人老年人满意一般不满意（Ⅰ）从所有参与调研的人中随机选取人，估计此人“不满意”的概率；（Ⅱ）从参与调研的青年人和中年人中各随机选取人，估计恰有人“满意”的概率；（Ⅲ）现需从参与调研的老年人中选择人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中各取人，这种抽样是否合理？说明理由．（18）（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为棱的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．     （19）（本小题14分）已知椭圆过，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率的大小；   （Ⅱ）设，是轴上不同的两点，若两点的纵坐标互为倒数，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，判断直线与轴的位置关系，并证明你的结论．（20）（本小题15分）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若，设函数，在上的最大值不小于，求的取值范围．（21）（本小题14分）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“拓展”．如数列，第次“拓展”后得到数列，，，第次“拓展”后得到数列，，，，．设数列，，经过第次“拓展”后所得数列的项数记为，所有项的和记为．（Ⅰ）求，；（Ⅱ）若，求的最小值；（Ⅲ）是否存在实数，，，使得数列为等比数列？若存在，求，，满足的条件；若不存在，说明理由．       房山区2020年第一次模拟检测答案高三数学一、选择题（每小题4分，共40分）题号12345678910答案BCBDAABDCD二、填空题（每小题5分，共25分，有两空的第一空3分，第二空2分）（11）（12）（13）；（14）（15）②④（注：只写②或④得3分）三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题14分）解：选择①（Ⅰ）在△中，因为，，， 由余弦定理得，           因为，所以                             所以．                       （Ⅱ）在△中，．所以．选择②（Ⅰ）因为，，所以        因为，，所以（Ⅱ）因为，，，由，得，解得，由，解得，在△中，，选择③依题意，为锐角，由得  在△中，因为，，，由余弦定理，得解得或（Ⅰ）当时，．      当时，．                                                                                                                                                              （Ⅱ）由，，，，得在中，，（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）从所有参与调研的人共有人，不满意的人数是记事件为“从所有参与调研的人中随机选取人此人不满意”，则所求概率为.（Ⅱ）记事件为“从参与调研的青年人中随机选取人，此人满意”，则;记事件为“从参与调研的中年人中随机选取人，此人满意”，则；则“从参与调研的青年人和中年人各随机选取人，恰有人满意”的概率为（Ⅲ）这种抽样不合理。理由：参与调研的名老年人中不满意的人数为，满意和一般的总人数为，说明满意度之间存在较大差异，所以从三种态度的老年中各取人不合理。合理的抽样方法是采用分层抽样，根据，，的具体数值来确定抽样数值。（18）（本小题14分）证明：（Ⅰ）取中点，连接，，因为为中点，为中点，所以，且又因为，且所以，且所以四边形为平行四边形，所以，因为平面平面 所以平面.（Ⅱ）因为平面，平面所以又因为所以，又，平面所以.（Ⅲ）因为平面，平面所以，又，以为原点，如图建立空间直角坐标系， 所以已知平面的一个法向量；设平面的法向量，则即令，则；所以平面的一个法向量为所以由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）依题意得， 所以椭圆的方程为 ，离心率的大小 （Ⅱ）因为，是轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，      设，坐标为，，则， 由，得直线的方程为 整理得 或得交点的纵坐标为 同理交点的纵坐标为 所以，直线与轴平行 解法二：设直线的方程为，直线的方程为 令得，坐标为，同理坐标为因为，是轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，所以 整理得或得交点的纵坐标为 同理得 所以，直线与轴平行.  解法三：设直线的方程为，直线的方程为令得坐标为，同理坐标为因为，是轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，所以 代入椭圆方程得或所以  得交点的纵坐标为 同理得 所以，直线与轴平行.（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）由，，得曲线在点处的切线方程为（Ⅱ）定义域为R，令，解得若，，在上单调递增；若，在上，，单调递增，在上，，单调递减，在上，，单调递增；若，上，，单调递增，在上，，单调递减，在上，，单调递增；（Ⅲ）若，函数的单调减区间为，单调递增区间为.当时，即，由（Ⅱ）知，在上单调递增，在上单调递减，则当时，即，在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极小值则，若，则，即综上，实数的取值范围为（21）（本小题14分）解：（Ⅰ）因原数列有项，经第次拓展后的项数；经第次拓展后的项数.（Ⅱ）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经第次拓展后的项数为，则经第次拓展后增加的项数为，所以所以，由（Ⅰ）知，所以，由，即，解得所以的最小值为10．（Ⅲ）设第次拓展后数列的各项为所以因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，所以即所以，得由，则若使为等比数列，则或所以，，，满足的条件为或者．