北京市房山区2020届高三模拟检测数学试题
展开房山区2020年高考第二次模拟检测
高三数学
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.已知全集，集合，那么集合（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
计算，再计算补集得到答案.
【详解】，，解得或，故，
故.
故选：D.
【点睛】本题考查解不等式，补集的计算，属于简单题.
2.在△中，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用正弦定理计算得到答案.
【详解】根据正弦定理：，故，解得.
故选：B.
【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.
3.函数的最小正周期为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简得到，利用周期公式得到答案.
【详解】，故周期.
故选：A.
【点睛】本题考查了二倍角公式，三角函数周期，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
4.若双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据题意得到，再根据计算即可.
【详解】由题知：双曲线的渐近线方程为，
因为渐近线方程过点，
所以过点，即.
.
故选：C
【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，根据题意找到的关系式为解题的关键，属于简单题.
5.函数的零点个数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由，得到.分别画出和的图象可知当时，函数和有一个交点.当时，利用导数研究函数的单调性和最值即可得到零点个数，再综合和的情况即可得到函数的零点个数.
【详解】令，得：，
分别画出和的图象，如图所示：
当时，函数和有一个交点.
当时，，
令，，，.
当，，为减函数，
当，，为增函数.
所以，
所以在为增函数，
又因为，所以，.
故在无零点.
综上：函数的零点个数为.
故选：B
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点，同时考查了数形结合的思想，属于中档题.
6.“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数运算依次判断充分性和必要性得到答案.
【详解】若，则，则若，则，故是充分条件；
若，取，则，故不是必要条件.
故“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
7.已知函数，则（ ）
A. 是奇函数，且在上是增函数
B. 是奇函数，且在上是减函数
C. 是偶函数，且在上是增函数
D. 是偶函数，且在上是减函数
【答案】C
【解析】
【分析】
利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再利用复合函数单调性法则判断单调性，结合选项可得结果.
【详解】
，
是偶函数；
当时，，
设，则在上单增，
又为增函数，所以在上单增，
是偶函数，且在上是增函数.
故选：C.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， （和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法， （ 为偶函数， 为奇函数）.
8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图可得直观图四棱锥，结合图形，即可得到最长的侧棱为，根据勾股定理即可求出的长．
【详解】根据三视图可得直观图四棱锥，如图：
底面是一个直角梯形，，，,,且
底面，所以，
，
∴该四棱锥最长侧棱长为.
故选:C
【点睛】本题考查三视图的问题，关键是画出直观图，结合图形即可得到答案，考查学生的直观想象和运算求解能力.
9.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，经过分钟后物体的温度℃可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于的常数．现有℃的物体，放在℃的空气中冷却，分钟以后物体的温度是℃，则约等于（参考数据：）（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
℃的物体，放在℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是℃，则，从而，由此能求出的值．
【详解】由题知，℃的物体，放在℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是℃，则，从而，
，得.
故选:D
【点睛】本题主要考查指数与对数的运算，考查了学生的阅读理解能力和运算求解能力.
10.李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次．已知月日李明分别去了这四家超市配送，那么整个月他不用去配送的天数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意将剩余天数编号，转化条件得李明每逢编号为3、4、6、7的倍数时要去配送，利用分类加法即可得解.
【详解】将月剩余的30天依次编号为1，2，330，
因甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次，且月日李明分别去了这四家超市配送，
所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送，
则李明去甲超市的天数编号为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天；
李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：4、8、16、20、28，共5天；
李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天；
李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：7、14，共2天；
所以李明需要配送的天数为，
所以整个月李明不用去配送的天数是.
故选：B.
【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了逻辑推理能力、转化化归思想与分类讨论思想，关键是对于题目条件的转化与合理分类，属于中档题.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11.若（），则_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意结合复数的乘法法则可得，由复数相等的条件即可得解.
【详解】由题意，
由可得，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的条件与运算求解能力，属于基础题.
12.若直线与圆相切，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意结合圆的方程可得该圆圆心为，半径为，再利用圆心到直线的距离等于半径即可得解.
【详解】由题意圆的方程可转化为，
所以该圆圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查了圆的方程的应用，考查了直线与圆的位置关系的应用以及运算求解能力，属于基础题.
13.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，则点的横坐标是________，△（为坐标原点）的面积为_________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
设出焦点坐标，根据抛物线定义即可求出点的横坐标，得到点坐标，继而可求△（为坐标原点）的面积.
【详解】因为，所以焦点，
设点，
所以根据抛物线的定义由：，
又，
所以，解得：，
即点的横坐标是.
因为，
又，所以，，
所以，
故△（为坐标原点）的面积为.
故答案为：；.
【点睛】本题考查抛物线定义的应用，解题关键根据抛物线定义用抛物线上点的横坐标表示焦半径的长，属于基础题.
14.已知正方形的边长为，若，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，求得点P的坐标，进而得到的坐标，再利用数量积的坐标运算求解.
【详解】如图所示建立平面直角坐标系：
则，
设 ，
，
因为，
，
解得，
所以，
所以，
所以，
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
15.对任意两实数，，定义运算“”：给出下列三个结论：
①存在实数，，使得成立；
②函数的值域为；
③不等式的解集是．
其中正确结论的序号是_____________．
【答案】①③
【解析】
【分析】
由得，，
对于①，由得，，由绝对值三角不等式即可判断；（另解：举例说明，取；）
对于②，，再根据辅助角公式和三角函数的性质即可判断；
对于③，由得，，解出即可判断．
【详解】解：由得，，
对于①，由得，，即，
由绝对值三角不等式可得，，
当且仅当时，等号成立，
故①对；
（另解：取，则，则成立；）
对于②，，
故②错；
对于③，由得，，即，
∴，解得，
故③对；
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查新定义问题，解题的关键在于理解新运算的含义，属于中档题．
三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.如图，在三棱柱中，是边长为正方形，平面平面，，，点为棱的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意，利用平面与平面垂直的性质可得平面，得到平面，得，由是正方形，得，再由直线与平面垂直的判定可得平面；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，又，故以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与 的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值．
【详解】（Ⅰ）证：平面平面，平面平面，
平面，且，
平面，
在三棱柱中，有，
平面，得,
是正方形，
，而，
平面；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，平面，又，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．
17.已知数列的前项和为，， ．是否存在正整数（），使得成等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
从①，②， ③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
【答案】若选①，不存在正整数（），使得成等比数列；
若选②，存在，使得成等比数列；
若选③，存在，使得成等比数列．
【解析】
【分析】
由题意得，若存在正整数（）满足题意，则；
若选①，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，求得，，代入数据求解即可求出答案；
若选②，则当时，，据此求得，，代入数据求解即可求出答案；
若选③，则当时，，据此求得，代入数据求解即可求出答案．
【详解】解：若选①，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，
∴，，
∴，，
若成等比数列，则，
则，即，即，
解得，均不符合题意，
故不存在正整数（），使得成等比数列；
若选②，则当时，，
又符合上式，则，，
∴，
∴，，
若成等比数列，则，即，
解得，或（舍去），
故存在，使得成等比数列；
若选③，则当时， ，
又符合上式，则，，
∴，，
若成等比数列，则，
则，即，
解得，或（舍去），
故存在，使得成等比数列．
【点睛】本题主要考查根据数列的递推公式求通项公式，考查计算能力，属于中档题．
18.“十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在时，时，时，时公布实时在园人数．下表记录了月日至日的实时在园人数：
| 日 | 日 | 日 | 日 | 日 | 日 | 日 |
时在园人数 | |||||||
时在园人数 | |||||||
时在园人数 | |||||||
时在园人数 |
通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量（同一时段在园人数的饱和量）之比来表示游园舒适度，以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是万人．
（Ⅰ）甲同学从月日至日中随机选天的下午时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率；
（Ⅱ）从月日至日中任选两天，记这两天中这个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据月日至日每天时的在园人数，判断从哪天开始连续三天时的在园人数的方差最大？（只需写出结论）
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的分布列见解析，数学期望；（Ⅲ）从10月3日开始连续三天时的在园人数的方差最大．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意得，在园人数为万人以下为“舒适”，由此根据古典概型的概率计算公式求解即可；
（Ⅱ）从月日至日中，这个时间的游览舒适度都为“舒适”的有4日、6日、7日，得的取值可能为0，1，2，且服从超几何分布，由此可求出答案；
（Ⅲ）根据方差的定义观察波动幅度，由此可得出结论．
【详解】解：∵以下称为“舒适”，该公园的最大承载量是万人，
∴在园人数为万人以下为“舒适”，
（Ⅰ）月日至日的下午时去该公园游览，“舒适”的天数为3天，
∴甲同学遇上“舒适”的概率；
（Ⅱ）从月日至日中，这个时间的游览舒适度都为“舒适”的有4日、6日、7日，
∴的取值可能为0，1，2，且服从超几何分布，
∴，
，
，
∴的分布列为
0 | 1 | 2 | |
∴的数学期望；
（Ⅲ）从10月3日开始连续三天时的在园人数的方差最大．
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查古典概型的概率计算公式，考查方差的定义，属于基础题．
19.已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为原点，点在椭圆上，点和点关于轴对称，直线与直线交于点，求证：，两点的横坐标之积等于，并求的取值范围．
【答案】（I）；（II）证明见解析；的取值范围是.
【解析】
【分析】
（I）根据椭圆的顶点、离心率以及求得，从而求得椭圆的方程.
（II）设出的坐标，求得直线和直线的方程，由此求得交点的坐标，进而证得两点的横坐标之积等于.求得的表达式，由此求得的取值范围.
【详解】（I）由于椭圆焦点在轴上，所以， 所以椭圆的方程为.
（II）设则、. 依题意可知，且.直线的方程为，直线的方程为.由解得，即.所以两点的横坐标之积为.由.由于，且，所以，.也即的取值范围是.
【点睛】本小题主要考查根据求椭圆方程，考查椭圆中的定值问题，考查椭圆中的范围问题，属于中档题.
20.已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）求曲线在点处的切线方程；
（3）求证：当时，．
【答案】（1）；（2）;（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由分母不等于0解不等式可求得定义域；
（2）根据导数的几何意义易求出切线方程；
（3）先求导判断函数在上的单调性，再求出最小值，命题得证.
【详解】解：（1）由得，，.所以函数的定义域为.
（2）由得：，又，所以曲线在点处的切线方程为：.
（3）由（2）得，.
当时，与单调递增，
所以在上单调递增.
又，所以在上单调递减，在上单调递增.
故.
【点睛】本题考查了函数的定义域求法、导数的几何意义及函数的最值，是高考基本知识，属于中档题.
21.已知集合的元素个数为 且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合，，，即，，，，其中，，，且满足，，，则称集合为“完美集合”．
（Ⅰ）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由；
（Ⅱ）已知集合为“完美集合”，求正整数的值；
（Ⅲ）设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或 ．
【答案】（Ⅰ）集合是“完美集合”，集合不是“完美集合”，理由见解析；（Ⅱ）7，9，11中中任一个；（Ⅲ）详见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据“完美集合”的定义判断.
（Ⅱ）根据“完美集合”的定义，写出集合A，B，C的所有情况，算出x的所有可能的值.
（Ⅲ）根据集合中所有元素的和为，以及和
得到，利用为正整数求解.
【详解】（Ⅰ）是“完美集合”，此时，，，，
满足，.
不“完美集合”，
若为“完美集合”，将分成3个集合，每个集合中有两个元素，则，.
中所有元素之和为21 ， 不符合要求.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
若，，根据 “完美集合”定义，
则，.
若，，根据 “完美集合”的定义，
则，.
若，，根据 “完美集合”的定义，
则，.
综上：正整数的值为，9，7，11中任一个.
（Ⅲ）设集合中所有元素的和为，
而，
因为，
所以，，
，
等号右边为正整数，
则等式左边可以被4整除，
所以或 ，
即或 ．
【点睛】本题主要考查了集合的新概念问题，集合的运算以及等差数列的求和公式，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于难题.
